Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

30 det er et kvadratisk lineært ligningssystem: 4 ligninger med 4 ubekendte. Eksempel 6. (efter W.A. Strauss). 0 0 0 0 0 0 Figuren viser en lejlighed med 4 rum. For hver af lejlighedens ydervægge (inklusive de vægge, der grænser op til nabo-lejligheder) er angivet p˚agældende vægs temperatur. Der er ingen opvarmning i lejligheden, s˚a temperaturen i hvert rum vil indstille sig som gennemsnitstemperaturen af rummets fire “naboer”. (Temperaturen i nabolejlighederne tænkes holdt fast, f.eks. ved termostatstyring.) Find temperaturen i hvert af de fire rum. F.eks. er temperaturen x2 i Nordøst-værelset bestemt ved eller 24 x2 = 1 4 (x1 + x4 + 0 + 24), 0 4x2 = x1 + x4 + 0 + 24 og tilsvarende for de tre andre værelser (forudsat passende nummerering 1.- 4. af værelserne). Den samlede temperaturfordeling er alts˚a bestemt ved ligningssystemet 4x1 = x2 + x3 + 0 + 0 4x2 = x1 + x4 + 0 + 24 4x3 = x1 + x4 + 0 + 0 4x4 = x2 + x3 + 0 + 0 Vi stiller dette ligningssystem op i “standard format”, dvs. med de tilsvarende ubekendte under hinanden p˚a venstre side af lighedstegnet, konstanterne p˚a højre side:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 4x1 −x2 −x3 = 0 −x1 +4x2 −x4 = 24 −x1 +4x3 −x4 = 0 −x2 −x3 +4x4 = 0 Det er et eksempel p˚a et lineært ligningssystem, som er kvadratisk (lige s˚a mange ubekendte, som der er ligninger). Det ses let ved indsættelse, at talsættet (vektoren) (2, 7, 1, 2) ∈ R4 er en løsning. Som matrix-ligning ser ligningssystemet s˚adan ud: ⎡ ⎢ ⎣ 4 −1 −1 0 −1 4 0 −1 −1 0 4 −1 0 −1 −1 4 ⎤ ⎥ ⎦ · ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎦ = – I næste § beskrives en teknik til løsning af lineære ligningssystemer. Opgaver Opgaverne her er at opskrive de forelagte problemer som lineære ligningssystemer. Opgave 1. Antag, at der om en 2 × 2 matrix A gælder, at 1 A · 1 = 2 1 −1 og A · 1 ⎡ ⎢ ⎣ = Opstil et lineært ligningssystem p˚a fire ligninger med fire ubekendte til bestemmelse af A. Opgave 2. Antag, at der om et trediegrads-polynomium f(x) = a0+a1x+a2x 2 + a3x 3 gælder, at f ′ (0) = f ′ (1) = 0 og at f(0) = 2, f(1) = 0. Opstil et lineært ligningssystem p˚a fire ligninger med fire ubekendte til bestemmelse af f (dvs. til bestemmelse af a0,...,a3). Opgave 3. Antag, at der om et fjerdegrads-polynomium f(x) = a0 +a1x+a2x 2 + a3x 3 + a4x 4 gælder, at f ′ (0) = f ′ (1) = 0 og at f(0) = 2, f(1) = 0. Opstil et lineært ligningssystem p˚a fire ligninger med fem ubekendte til bestemmelse af f (dvs. til bestemmelse af a0,...,a4). Dette er et underbestemt ligningssystem: flere ubekendte end ligninger. Det har uendelig mange løsninger.) , 0 24 0 0 1 −1 ⎤ ⎥ ⎦ . .
Page 1: Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6: 1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8: 1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10: 1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12: 2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14: 2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16: 2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18: 2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26: 4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 At
Page 37 and 38: 6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40: 6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42: 6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44: 6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46: 6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 53 and 54: 8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 69 and 70: 10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90:
13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92:
13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94:
14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116:
17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118:
18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120:
18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122:
Index 1. ordens differentialligning
Page 123:
INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?