Lineær Algebra Differentialligninger

5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29
At sige, at et ligningssystem A ·x = b er konsistent, er det samme som at sige,
at b kan skrives som linearkombination af søjlerne i A. Det fremg˚ar af Sætning 2.
Man taler ofte om at opløse en vektor b efter et givet sæt s 1, . . .,s n af
vektorer. Det betyder, at skrive b som linearkombination af s i’erne. Det er et
spørgsm˚al, der giver mening i vilk˚arlige vektorrum. I geometriske vektorrum
er det en rent geometrisk konstruktions-opgave. Hvis b og s i ’erne er mdimensionale
koordinatvektorer, er spørgsm˚alet om at opløse b efter s 1, . . .,s n
ensbetydende med at løse det lineære ligningssystem A · x = b, hvor A er
m × n-matricen hvis søjler er s i’erne.
Eksempel 4. Skriv vektoren (−28, 16) som linearkombination af vektorerne
(2, 0), (−2, 1), og (−4, 2). Det leder til matrixligningen fra Eksempel 2,
som igen er ensbetydende med det inhomogene lineære ligningssystem fra
Eksempel 1 (som er et underbestemt ligningssystem). Brugbare koefficienter,
der giver (−28, 16) som linearkombination af (2, 0), (−2, 1), og (−4, 2), er
f.eks. 2, 16 og 0, vi fandt jo dette talsæt som en løsning til ligningssystemet
i Eksempel 1; derfor er
(−28, 16) = 2 · (2, 0) + 16 · (−2, 1) + 0 · (−4, 2)
en linearkombination af den ønskede art.
Eksempel 5. Kan funktionen x 3 skrives som linearkombination af funktionerne
(x − 2) 3 , (x − 2) 2 , (x − 2), og (x − 2) 0 (sidstnævnte er den konstante
funktion med værdi 1)? Opgaven g˚ar ud p˚a, om muligt, at finde tal λ3, λ2, λ1
og λ0 s˚a at der gælder
x 3 = λ3(x − 2) 3 + λ2(x − 2) 2 + λ1(x − 2) + λ0
(11)
for alle x. P˚a dette problem giver Taylor-udvikling af funktionen x3 ud fra
a = 2 et elegant svar, ([S] 8.9); en mere fodgænger-agtig fremgangsm˚ade er
at opstille et lineært ligningssystem med de fire ubekendte λ3, λ2, λ1 og λ0.
Vi f˚ar et s˚adant ligningssystem ved at sammenligne koefficienterne til x3 , x2 ,
x og 1 p˚a begge sider af (11). Lad os f.eks. sammenligne koefficienterne til x2 p˚a begge sider af lighedstegnet. P˚a venstre side har vi 0, p˚a højre side har vi,
idet vi multiplicerer (x−2) 3 og (x−2) 2 ud, λ3 ·3·(−2)·x 2 +λ2 ·x2 ; ligningen
der sammenligner koefficienterne til x2 er alts˚a 0 = λ3 · 3 · (−2) + λ2. Det er
ligning nummer to i det samlede ligningssystem, der kommer til at se s˚adan
ud:
λ3
= 1
−6λ3 +λ2 = 0
12λ3 −4λ2 +λ1 = 0
−8λ3 +4λ2 −2λ1 +λ0 = 0