Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
28<br />
Eksempel: Det underbestemte lignings“system”<br />
3x + 4y = 8.<br />
Løsningsmængden er en linie med hældningskoefficient −3/4, der skærer y-aksen<br />
i punktet (0,2).<br />
Generelt: Hvis der er uendelig mange løsninger til et (ikke-trivielt) lineært<br />
ligningssystem i to variable, s˚a udgør løsningsmængden en linie i planen. Heraf<br />
kommer ordet lineært ligningssystem og lineær algebra.<br />
Vi betragter dernæst lineære ligningssystemer i tre ubekendte.<br />
Hvis lignings“systemet” kun best˚ar af én ligning, er løsningsmængden en plan.<br />
Hvis ligningssystemet best˚ar af to ligninger, vil løsningsmængden som regel være<br />
en linie, nemlig skæringslinien mellem de to planer givet ved hver af de to ligninger.<br />
Se figurer i [S] s. 681.<br />
En linie i planen eller rummet kan altid beskrives p˚a parameterform {x +<br />
tu | t ∈ R}, hvor x er (stedvektor for) et punkt p˚a linien og u er en egentlig<br />
vektor, en “retningsvektor” for linien. (Sml. [S] s. 676.) Punktet p˚a linien kan<br />
vælges vilk˚arligt. Hvis u 1 og u 2 begge er retningsvektorer for linien, er vektorerne<br />
“parallelle” eller “proportionale”, u 1 = λu 2.<br />
En plan i rummet kan ogs˚a beskrives p˚a parameterform, men der skal to<br />
parametre til (en plan er “2-dimensional”), {x + su + tv}, hvor x er (stedvektor<br />
for) et punkt i planen, og u og v tilsammen udspænder planens retning. Der<br />
er stor vilk˚arlighed i valget af s˚adanne to vektorer; man kan ikke umiddelbart se<br />
om u 1 ,v 1 udspænder det samme som u 2 ,v 2 . Derfor beskriver man tit planen ved<br />
hjælp af en normalvektor til den (jvf. [S] s. 679) (En s˚adan normalvektor kan tages<br />
som kryds-produktet af to vektorer, der udspænder planens retning). Men denne<br />
beskrivelsesm˚ade fungerer kun for planer i det 3-dimensionale rum, ikke for planer<br />
i 4- eller højere dimensionale rum. I dette kursus lægges vægt p˚a de metoder, der<br />
ogs˚a gælder i højere dimensioner; og derfor undg˚ar vi brugen af kryds-produkt,<br />
der kun fungerer i dimension 3.<br />
Linier og planer i det 3-dimensionale rum R 3 kaldes ogs˚a affine underrum<br />
af dimension hhv. 1 og 2, eller sommetider inhomogene lineære underrum; ordet<br />
“lineære underrum” er reserveret til s˚adanne affine underrum, der indeholder 0<br />
(origo) (s˚adan er sprogbrugen i det mindste i <strong>Lineær</strong> <strong>Algebra</strong>. )<br />
F. eks.: et 1-dimensionalt affint underrum er af form U = {x + tu | t ∈ R};<br />
linien V = {tu | t ∈ R} er et lineært underrum. Linien U er fremkommet ved<br />
parallel-forskydning af linien V , ved forskydning langs vektoren x.<br />
Dette gælder ogs˚a i højere dimensioner: Ethvert ikke-tomt affint underrum af<br />
et vektorrum fremkommer ved parallelforskydning af et lineært underrum.<br />
Løsningsmængden til et lineært ligningssystem i n ubekendte er altid et affint<br />
underrum af R n . Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem er<br />
endda et lineært underrum. – Mere præcise udsagn blev formuleret i Sætning 7<br />
og 8.