Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27<br />
ligningssystem inkonsistent. (Et ligningssystem, der har mindst én løsning,<br />
kaldes konsistent.)<br />
Betragt f.eks. ligningssystemet (skrevet som matrix-ligning)<br />
2 2 3<br />
4 4 6<br />
⎡<br />
<br />
· ⎣<br />
x1<br />
x2<br />
x3<br />
⎤<br />
⎦ =<br />
Hvis (x1, x2, x3) er en løsning til første ligning, vil (x1, x2, x3) indsat i anden<br />
ligning give 10 (multiplicer første ligning med 2), ikke 9. Den anden<br />
ligning kan alts˚a ikke være opfyldt samtidig med den første; det er alts˚a et<br />
inkonsistent ligningssystem.<br />
Homogene lineære ligningssystemer er altid konsistente, dvs. de har altid<br />
en løsning, nemlig den trivielle løsning, eller nulløsningen x = (0, . . ., 0),<br />
nulvektoren i R n .<br />
Terminologi og tommelfinger-regler:<br />
Et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end der er ligninger, kaldes<br />
underbestemt. “Som regel” (men ikke altid) har et underbestemt ligningssystem<br />
uendelig mange løsninger.<br />
Et ligningssystem, hvor der er flere ligninger end der er ubekendte, kaldes<br />
overbestemt. “Som regel” (men ikke altid) har et overbestemt ligningssystem ingen<br />
løsninger (medmindre det er homogent lineært, s˚a har det jo i hvert fald nulløsningen).<br />
Et ligningssystem, hvor der er lige s˚a mange ligninger som ubekendte, kaldes<br />
kvadratisk. “Som regel” (men ikke altid) har et kvadratisk ligningssystem af lineære<br />
ligninger præcis én løsning.<br />
<strong>Lineær</strong> algebra giver en teori, der erstatter disse tommelfinger-regler med<br />
præcise udsagn. F.eks. giver determinant-teorien det udsagn, at et kvadratisk<br />
lineært ligningssystem har præcis én løsning, hvis “systemets koefficientmatrix<br />
har determinant forskellig fra 0”, se §8.<br />
Vi skal især betragte underbestemte lineære ligningssystemer, der typisk har<br />
uendelig mange løsninger. Hvordan beskrive en uendelig løsningsmængde?<br />
Det kræver noget teori. For hvordan f˚ar man ellers overblik over en uendelig<br />
mængde ?<br />
Hvis det drejer sig om ligningssystemer med to eller tre ubekendte, er en geometrisk<br />
beskrivelse af løsningsmængden velegnet. Løsningsmængden til et ligningssystem<br />
i to ubekendte kan beskrives geometrisk som en delmængde af planen<br />
R 2 ; løsningsmængden til et ligningssystem i tre ubekendte kan tilsvarende<br />
beskrives som en delmængde af rummet R 3 . (Se ogs˚a [S] 9.5.)<br />
Vi betragter først lineære ligningssystemer i to ubekendte. I det underbestemte<br />
tilfælde er der alts˚a < 2 ligninger, alts˚a kun én ligning (s˚a det er lidt flot at kalde<br />
det et lignings“system”, men det gør man alts˚a i matematik).<br />
5<br />
9<br />
<br />
.