Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

26 og y er løsninger, dvs. hvis A ·x = 0 og A ·y = 0, s˚a er x+y ogs˚a en løsning. For A · (x + y) = A · x + A · y = 0 + 0 = 0. Hvad kan man sige om løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem A · x = b (alts˚a mængden (10), hvor f er den lineære afbildning givet ved matricen A)? Sætning 8 Givet en partikulær løsning til det lineære ligningssystem A · x = b. S˚a f˚as systemets fuldstændige løsning ved til denne partikulære løsning at addere samtlige løsninger til det tilhørende homogene lineære ligningssystem A · x = 0. Bevis. Lad c være en partikulær løsning til ligningssystemet f(x) = b. Hvis u er en vilk˚arlig løsning til det homogene ligningssystem f(x) = 0, s˚a er c+u en løsning til f(x) = b: f(c + u) = f(c) + f(u) = b + 0 = b, det første lighedstegn fordi f er lineær. Omvendt, hvis d er en løsning til det inhomogene system f(x) = b, s˚a er d af form d = c + u for en vis løsning u til det homogene system; tag nemlig u = d − c, s˚a er f(u) = f(d − c) = f(d) − f(c) = b − b = 0 (det andet lighedstegn igen fordi f er lineær). Eksempel 3. Betragt ligningssystemet fra Eksempel 1. Den beskrevne fuldstændige løsning (2, 16, 0) + t(0, −2, 1), ses at være fremkommet s˚aledes: til den partikulære løsning (2, 16, 0) har vi adderet samtlige t(0, −2, 1), og de udgør netop løsningsmængden til det homogene lineære ligningssystem, der hører til ligningssystemet. Man kunne lige s˚a godt have brugt en anden partikulær løsning, f.eks. (2, 14, 1) i stedet for (2, 16, 0). Geometrisk udtrykker sætningen, at løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem fremkommer af løsningsrummet for det tilhørende homogene lineære ligningssystem ved parallel-forskydning; nemlig ved parallelforskydning langs en vilk˚arlig partikulær løsning u 1 til det inhomogene system. (I Eksempel 3 har vi s˚aledes parallelforskudt linien gennem O med retningsvektor (0, −2, 1); forskydningen er sket langs med, eller ud til, (2, 16, 0).) Løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem er alts˚a et inhomogent lineært underrum (ogs˚a kaldet et affint underrum, eller, p˚a engelsk, en “flat”). Det kan ogs˚a være tomt: med andre ord, der findes inhomogene lineære ligningssystemer der ikke har nogen løsninger. Man kalder et s˚adant
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 ligningssystem inkonsistent. (Et ligningssystem, der har mindst én løsning, kaldes konsistent.) Betragt f.eks. ligningssystemet (skrevet som matrix-ligning) 2 2 3 4 4 6 ⎡ · ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎦ = Hvis (x1, x2, x3) er en løsning til første ligning, vil (x1, x2, x3) indsat i anden ligning give 10 (multiplicer første ligning med 2), ikke 9. Den anden ligning kan alts˚a ikke være opfyldt samtidig med den første; det er alts˚a et inkonsistent ligningssystem. Homogene lineære ligningssystemer er altid konsistente, dvs. de har altid en løsning, nemlig den trivielle løsning, eller nulløsningen x = (0, . . ., 0), nulvektoren i R n . Terminologi og tommelfinger-regler: Et ligningssystem, hvor der er flere ubekendte end der er ligninger, kaldes underbestemt. “Som regel” (men ikke altid) har et underbestemt ligningssystem uendelig mange løsninger. Et ligningssystem, hvor der er flere ligninger end der er ubekendte, kaldes overbestemt. “Som regel” (men ikke altid) har et overbestemt ligningssystem ingen løsninger (medmindre det er homogent lineært, s˚a har det jo i hvert fald nulløsningen). Et ligningssystem, hvor der er lige s˚a mange ligninger som ubekendte, kaldes kvadratisk. “Som regel” (men ikke altid) har et kvadratisk ligningssystem af lineære ligninger præcis én løsning. <strong>Lineær</strong> algebra giver en teori, der erstatter disse tommelfinger-regler med præcise udsagn. F.eks. giver determinant-teorien det udsagn, at et kvadratisk lineært ligningssystem har præcis én løsning, hvis “systemets koefficientmatrix har determinant forskellig fra 0”, se §8. Vi skal især betragte underbestemte lineære ligningssystemer, der typisk har uendelig mange løsninger. Hvordan beskrive en uendelig løsningsmængde? Det kræver noget teori. For hvordan f˚ar man ellers overblik over en uendelig mængde ? Hvis det drejer sig om ligningssystemer med to eller tre ubekendte, er en geometrisk beskrivelse af løsningsmængden velegnet. Løsningsmængden til et ligningssystem i to ubekendte kan beskrives geometrisk som en delmængde af planen R 2 ; løsningsmængden til et ligningssystem i tre ubekendte kan tilsvarende beskrives som en delmængde af rummet R 3 . (Se ogs˚a [S] 9.5.) Vi betragter først lineære ligningssystemer i to ubekendte. I det underbestemte tilfælde er der alts˚a < 2 ligninger, alts˚a kun én ligning (s˚a det er lidt flot at kalde det et lignings“system”, men det gør man alts˚a i matematik). 5 9 .
Page 1: Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6: 1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8: 1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10: 1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12: 2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14: 2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16: 2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18: 2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26: 4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 33 and 34: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 At
Page 35 and 36: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 4x1
Page 37 and 38: 6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40: 6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42: 6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44: 6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46: 6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 53 and 54: 8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 69 and 70: 10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90:
13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92:
13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94:
14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116:
17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118:
18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120:
18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122:
Index 1. ordens differentialligning
Page 123:
INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?