Lineær Algebra Differentialligninger

26
og y er løsninger, dvs. hvis A ·x = 0 og A ·y = 0, s˚a er x+y ogs˚a en løsning.
For
A · (x + y) = A · x + A · y = 0 + 0 = 0.
Hvad kan man sige om løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem
A · x = b (alts˚a mængden (10), hvor f er den lineære afbildning
givet ved matricen A)?
Sætning 8 Givet en partikulær løsning til det lineære ligningssystem
A · x = b. S˚a f˚as systemets fuldstændige løsning ved til denne partikulære
løsning at addere samtlige løsninger til det tilhørende homogene lineære ligningssystem
A · x = 0.
Bevis. Lad c være en partikulær løsning til ligningssystemet f(x) = b. Hvis
u er en vilk˚arlig løsning til det homogene ligningssystem f(x) = 0, s˚a er c+u
en løsning til f(x) = b:
f(c + u) = f(c) + f(u) = b + 0 = b,
det første lighedstegn fordi f er lineær. Omvendt, hvis d er en løsning til det
inhomogene system f(x) = b, s˚a er d af form d = c + u for en vis løsning
u til det homogene system; tag nemlig u = d − c, s˚a er f(u) = f(d − c) =
f(d) − f(c) = b − b = 0 (det andet lighedstegn igen fordi f er lineær).
Eksempel 3. Betragt ligningssystemet fra Eksempel 1. Den beskrevne
fuldstændige løsning
(2, 16, 0) + t(0, −2, 1),
ses at være fremkommet s˚aledes: til den partikulære løsning (2, 16, 0) har
vi adderet samtlige t(0, −2, 1), og de udgør netop løsningsmængden til det
homogene lineære ligningssystem, der hører til ligningssystemet. Man kunne
lige s˚a godt have brugt en anden partikulær løsning, f.eks. (2, 14, 1) i stedet
for (2, 16, 0).
Geometrisk udtrykker sætningen, at løsningsmængden til et inhomogent
lineært ligningssystem fremkommer af løsningsrummet for det tilhørende homogene
lineære ligningssystem ved parallel-forskydning; nemlig ved parallelforskydning
langs en vilk˚arlig partikulær løsning u 1 til det inhomogene system.
(I Eksempel 3 har vi s˚aledes parallelforskudt linien gennem O med retningsvektor
(0, −2, 1); forskydningen er sket langs med, eller ud til, (2, 16, 0).)
Løsningsmængden til et inhomogent lineært ligningssystem er alts˚a et inhomogent
lineært underrum (ogs˚a kaldet et affint underrum, eller, p˚a engelsk,
en “flat”). Det kan ogs˚a være tomt: med andre ord, der findes inhomogene
lineære ligningssystemer der ikke har nogen løsninger. Man kalder et s˚adant