Lineær Algebra Differentialligninger

5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25
Den udtrykker lighed mellem to m-dimensionale koordinatvektorer. To s˚adanne
koordinatvektorer er ens, hvis deres i’te koordinater stemmer overens,
for hvert i = 1, 2, . . ., m. Dette giver m ligninger. Ved at udføre matrixmultiplikationen
ser man, at disse m ligninger netop er de m ligninger fra
systemet (7), som alts˚a er ensbetydende med matrixligningen (9), alts˚a med
A · x = b. (Sml. ogs˚a Sætning 2.)
Eksempel 2. Ligningssystemet (8) er ensbetydende med matrix-ligningen
⎡ ⎤
x1
2 −2 −4
· ⎣ x2 ⎦
−28
= .
0 1 2
16
(Ligningssystemet (8) er iøvrigt betragtet og løst i (20) nedenfor.)
Lad os betragte den lineære funktion f : R n → R m , som matricen A
giver anledning til, alts˚a funktionen f givet ved
x3
u ↦→ A · u.
At finde en løsning til ligningen er ensbetydende med at finde et x ∈ R n med
f(x) = b (en partikulær løsning), eller at finde mængden af samtlige s˚adanne
x’er (den fuldstændige løsning). I mængdeteoretisk notation skrives denne
mængde s˚aledes:
{x ∈ R n | f(x) = b}. (10)
Vi betragter det ligningssystem, der fremkommer af ligningssystemet (7)
ved at erstatte alle b’erne p˚a højre side med 0’er. Det kaldes ogs˚a det
tilhørende homogene lineære ligningssystem. I matrix-sprog er dette homogene
lineære ligningssystem alts˚a blot A · x = 0, hvor 0 betegner 0-vektoren
i R m , 0 = (0, 0, . . ., 0).
Pr. definition er et lineært underrum af et vektorrum en delmængde, der
er stabil under dannelse af linearkombinationer, og som indeholder nulvektoren.
Vi har
Sætning 7 Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem A·x =
0 i n ubekendte x = (x1, . . .,xn) er et lineært underrum af R n . (Det kaldes
løsningsrummet til ligningssystemet.)
Med andre ord, løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem
er stabilt under dannelse af linearkombinationer; og nulvektoren er altid en
løsning. Udtrykt p˚a en anden m˚ade: for et homogent lineært ligningssystem
gælder, at en linearkombination af løsninger er igen en løsning; og nulvektoren
er en løsning. F. eks. er summen af to løsninger igen en løsning: hvis x