Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25<br />
Den udtrykker lighed mellem to m-dimensionale koordinatvektorer. To s˚adanne<br />
koordinatvektorer er ens, hvis deres i’te koordinater stemmer overens,<br />
for hvert i = 1, 2, . . ., m. Dette giver m ligninger. Ved at udføre matrixmultiplikationen<br />
ser man, at disse m ligninger netop er de m ligninger fra<br />
systemet (7), som alts˚a er ensbetydende med matrixligningen (9), alts˚a med<br />
A · x = b. (Sml. ogs˚a Sætning 2.)<br />
Eksempel 2. Ligningssystemet (8) er ensbetydende med matrix-ligningen<br />
⎡ ⎤<br />
x1 <br />
2 −2 −4<br />
· ⎣ x2 ⎦<br />
−28<br />
= .<br />
0 1 2<br />
16<br />
(Ligningssystemet (8) er iøvrigt betragtet og løst i (20) nedenfor.)<br />
Lad os betragte den lineære funktion f : R n → R m , som matricen A<br />
giver anledning til, alts˚a funktionen f givet ved<br />
x3<br />
u ↦→ A · u.<br />
At finde en løsning til ligningen er ensbetydende med at finde et x ∈ R n med<br />
f(x) = b (en partikulær løsning), eller at finde mængden af samtlige s˚adanne<br />
x’er (den fuldstændige løsning). I mængdeteoretisk notation skrives denne<br />
mængde s˚aledes:<br />
{x ∈ R n | f(x) = b}. (10)<br />
Vi betragter det ligningssystem, der fremkommer af ligningssystemet (7)<br />
ved at erstatte alle b’erne p˚a højre side med 0’er. Det kaldes ogs˚a det<br />
tilhørende homogene lineære ligningssystem. I matrix-sprog er dette homogene<br />
lineære ligningssystem alts˚a blot A · x = 0, hvor 0 betegner 0-vektoren<br />
i R m , 0 = (0, 0, . . ., 0).<br />
Pr. definition er et lineært underrum af et vektorrum en delmængde, der<br />
er stabil under dannelse af linearkombinationer, og som indeholder nulvektoren.<br />
Vi har<br />
Sætning 7 Løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem A·x =<br />
0 i n ubekendte x = (x1, . . .,xn) er et lineært underrum af R n . (Det kaldes<br />
løsningsrummet til ligningssystemet.)<br />
Med andre ord, løsningsmængden til et homogent lineært ligningssystem<br />
er stabilt under dannelse af linearkombinationer; og nulvektoren er altid en<br />
løsning. Udtrykt p˚a en anden m˚ade: for et homogent lineært ligningssystem<br />
gælder, at en linearkombination af løsninger er igen en løsning; og nulvektoren<br />
er en løsning. F. eks. er summen af to løsninger igen en løsning: hvis x