Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
24<br />
Eksempel 1’.<br />
x1 + x2 + x3 = 1.<br />
En partikulær løsning er f.eks. (1, 0, 0). Løsningsmængden kan f.eks. beskrives<br />
(1, 0, 0) + s · (−1, 1, 0) + t · (−1, 0, 1),<br />
hvor parametrene s og t løber over alle reelle tal. – Man siger, at løsningen<br />
er 2-dimensional, fordi der skal bruges to parametre. Det stemmer ogs˚a med<br />
geometrien, idet løsningsmængden geometrisk er en plan i R 3 . – En anden<br />
formulering af samme løsningsbeskrivelse er: mængden af taltripler af form<br />
(1 − s − t, s, t).<br />
Løsningsmængden kan beskrives p˚a mange andre m˚ader, f.eks. som<br />
( 1<br />
3<br />
, 1<br />
3<br />
1<br />
, ) + s(0, −1, 1) + t(−2, 1, 1),<br />
3<br />
igen med to parametre. – En anden formulering af samme løsningsbeskrivelse<br />
er: mængden af taltripler af form (1/3 − 2t, 1/3 − s + t, 1/3 + s + t).<br />
Det er let at indse, at et taltripel af denne form er en løsning; at enhver<br />
løsning kan skrives p˚a denne form er ikke helt s˚a klart, men følger af den<br />
teori, der udvikles i videreg˚aende lineær algebra.<br />
Man kan betragte et lineært ligningssystem som (7) eller (8) ud fra et<br />
matrix synspunkt. Lad A være den m × n matrix, hvis indgange aij er<br />
koefficienterne aij fra ligningssystemet (7). Denne matrix A kaldes “ligningssystemets<br />
koefficient-matrix”. I ligningssystemet (8) er koefficientmatricen<br />
s˚aledes 2 × 3 matricen 2 −2 −4<br />
0 1 2<br />
Lad x betegne den (ubekendte) n-dimensionale koordinatvektor (x1, . . ., xn),<br />
og lad b betegne den m-dimensionale koordinatvektor af b’erne fra ligningssystemets<br />
højre side. Begge disse koordinatvektorer tænkes skrevet op som<br />
søjlematricer. Betragt matrixligningen<br />
alts˚a<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
a11 a12 a1n<br />
a21 a22 a2n<br />
. ..<br />
am1 am2 amn<br />
A · x = b,<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦ ·<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
<br />
.<br />
x1<br />
x2<br />
.<br />
xn<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎥ = ⎢<br />
⎥ ⎣<br />
⎦<br />
b1<br />
b2<br />
.<br />
bm<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥.<br />
(9)<br />
⎦