Lineær Algebra Differentialligninger

24
Eksempel 1’.
x1 + x2 + x3 = 1.
En partikulær løsning er f.eks. (1, 0, 0). Løsningsmængden kan f.eks. beskrives
(1, 0, 0) + s · (−1, 1, 0) + t · (−1, 0, 1),
hvor parametrene s og t løber over alle reelle tal. – Man siger, at løsningen
er 2-dimensional, fordi der skal bruges to parametre. Det stemmer ogs˚a med
geometrien, idet løsningsmængden geometrisk er en plan i R 3 . – En anden
formulering af samme løsningsbeskrivelse er: mængden af taltripler af form
(1 − s − t, s, t).
Løsningsmængden kan beskrives p˚a mange andre m˚ader, f.eks. som
( 1
3
, 1
3
1
, ) + s(0, −1, 1) + t(−2, 1, 1),
3
igen med to parametre. – En anden formulering af samme løsningsbeskrivelse
er: mængden af taltripler af form (1/3 − 2t, 1/3 − s + t, 1/3 + s + t).
Det er let at indse, at et taltripel af denne form er en løsning; at enhver
løsning kan skrives p˚a denne form er ikke helt s˚a klart, men følger af den
teori, der udvikles i videreg˚aende lineær algebra.
Man kan betragte et lineært ligningssystem som (7) eller (8) ud fra et
matrix synspunkt. Lad A være den m × n matrix, hvis indgange aij er
koefficienterne aij fra ligningssystemet (7). Denne matrix A kaldes “ligningssystemets
koefficient-matrix”. I ligningssystemet (8) er koefficientmatricen
s˚aledes 2 × 3 matricen 2 −2 −4
0 1 2
Lad x betegne den (ubekendte) n-dimensionale koordinatvektor (x1, . . ., xn),
og lad b betegne den m-dimensionale koordinatvektor af b’erne fra ligningssystemets
højre side. Begge disse koordinatvektorer tænkes skrevet op som
søjlematricer. Betragt matrixligningen
alts˚a
⎡
⎢
⎣
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
. ..
am1 am2 amn
A · x = b,
⎤
⎥
⎦ ·
⎡
⎢
⎣
.
x1
x2
.
xn
⎤
⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ = ⎢
⎥ ⎣
⎦
b1
b2
.
bm
⎤
⎥
⎥.
(9)
⎦