Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23<br />
et s˚adant ligningssystem kan enten betyde, at man angiver et n-tupel af<br />
tal, der opfylder samtlige ligninger i ligningssystemet, eller at man beskriver<br />
løsningsmængden, dvs. mængden af samtlige n-tupler, der opfylder ligningssystemet.<br />
Man taler om henholdsvis en partikulær og den fuldstændige løsning.<br />
Helt generelt kan man sige, at jo færre ligninger, der er, jo større er løsningsmængden,<br />
(der er færre krav, der skal være opfyldt), og jo lettere er det at<br />
finde en partikulær løsning. Derudover er der ikke meget, der kan siges eller<br />
gøres rent generelt, udover den gamle metode: at eliminere de ubekendte en<br />
efter en. I [S] s. 814 ledes man s˚aledes til at skulle løse et ligningssystem (2<br />
ligninger med 2 ubekendte) som er ikke-lineært:<br />
2x(10y − 5 − 2x 2 ) = 0<br />
5x 2 − 4y − 4y 3 = 0.<br />
Linearitet af et ligningssystem betyder, at de ubekendte x, y o.s.v. kun<br />
indg˚ar i første potens x 1 (= x), y 1 , ..., og ikke multipliceres p˚a hinanden.<br />
S˚adanne ligningssystemer kan opstilles som matrix-ligninger, se nedenfor.<br />
Mere præcist:<br />
Ved et lineært ligningssystem (m ligninger med n ubekendte) forst˚as et<br />
ligningssystem af form<br />
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1<br />
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2<br />
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm<br />
Her betegner aij’erne og bi’erne kendte tal, mens x1, . . .xn er de n “ubekendte”<br />
(eller tilsammen den ubekendte vektor x ∈ R n ).<br />
Eksempel 1.<br />
2x1 −2x2 −4x3 = −28<br />
x2 +2x3 = 16<br />
.<br />
(7)<br />
. (8)<br />
En partikulær løsning er f.eks. (x1, x2, x3) = (2, 16, 0), hvad man kan se ved<br />
indsættelse. Den fuldstændige løsning viser sig at kunne beskrives med én<br />
parameter t ∈ R; f.eks som<br />
(2, 16, 0) + t · (0, −2, 1),<br />
hvor parameteren t løber over alle reelle tal. – Man siger, at løsningsmængden<br />
er 1-dimensional, fordi der skal bruges 1 parameter.