Lineær Algebra Differentialligninger

5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23
et s˚adant ligningssystem kan enten betyde, at man angiver et n-tupel af
tal, der opfylder samtlige ligninger i ligningssystemet, eller at man beskriver
løsningsmængden, dvs. mængden af samtlige n-tupler, der opfylder ligningssystemet.
Man taler om henholdsvis en partikulær og den fuldstændige løsning.
Helt generelt kan man sige, at jo færre ligninger, der er, jo større er løsningsmængden,
(der er færre krav, der skal være opfyldt), og jo lettere er det at
finde en partikulær løsning. Derudover er der ikke meget, der kan siges eller
gøres rent generelt, udover den gamle metode: at eliminere de ubekendte en
efter en. I [S] s. 814 ledes man s˚aledes til at skulle løse et ligningssystem (2
ligninger med 2 ubekendte) som er ikke-lineært:
2x(10y − 5 − 2x 2 ) = 0
5x 2 − 4y − 4y 3 = 0.
Linearitet af et ligningssystem betyder, at de ubekendte x, y o.s.v. kun
indg˚ar i første potens x 1 (= x), y 1 , ..., og ikke multipliceres p˚a hinanden.
S˚adanne ligningssystemer kan opstilles som matrix-ligninger, se nedenfor.
Mere præcist:
Ved et lineært ligningssystem (m ligninger med n ubekendte) forst˚as et
ligningssystem af form
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
Her betegner aij’erne og bi’erne kendte tal, mens x1, . . .xn er de n “ubekendte”
(eller tilsammen den ubekendte vektor x ∈ R n ).
Eksempel 1.
2x1 −2x2 −4x3 = −28
x2 +2x3 = 16
.
(7)
. (8)
En partikulær løsning er f.eks. (x1, x2, x3) = (2, 16, 0), hvad man kan se ved
indsættelse. Den fuldstændige løsning viser sig at kunne beskrives med én
parameter t ∈ R; f.eks som
(2, 16, 0) + t · (0, −2, 1),
hvor parameteren t løber over alle reelle tal. – Man siger, at løsningsmængden
er 1-dimensional, fordi der skal bruges 1 parameter.