Lineær Algebra Differentialligninger

22
spare, p˚a grund af ovennævnte Faktum 2. Matricen B er alts˚a en 2-sidet
invers til A (og A en 2-sidet invers til B).
Vi nævnte ovenfor to ikke-trivielle fakta om inverse matricer. Der er ogs˚a
nogle “trivielle”, eller rent formelle, fakta: hvis B 1 og B 2 begge er to-sidet
inverse til A, s˚a er B 1 = B 2 ; thi
B 1 = B 1 · I m = B 1 · A · B 2 = I n · B 2 = B 2 .
Der findes alts˚a højst én matrix B, der er to-sidet invers til A; hvis den findes,
betegnes den A −1 , og man siger s˚a, at A er en invertibel matrix (med A −1
som sin inverse matrix). (Ordet “invers” bruges her synonymt med “to-sidet
invers”.) – Nogle lommeregnere kan beregne A −1 for ikke for store invertible
(kvadratiske) matricer A. I §7 udledes en recept til udregningen.
Følgende fakta er ogs˚a rent formelle: hvis A og B er invertible matricer,
og matrix-produktet A ·B giver mening, s˚a er A ·B en invertibel matrix med
B −1 · A −1 som sin invers. Thi
(A · B) · (B −1 · A −1 ) = A · (B · B −1 ) · A −1 = A · I · A −1 = A · A −1 = I,
og det viser, at B −1 · A −1 er en højre-invers til A · B; og at den ogs˚a er en
venstre-invers ses ved en helt tilsvarende regning. Kort,
(A · B) −1 = B −1 · A −1
Endvidere: hvis A er invertibel, med B som invers, s˚a er B invertibel
med A som invers. Kort, (A −1 ) −1 = A.
Matricen F fra §2.1 (Fibonacci) er invertibel;
F −1 =
−1 1
1 0
(Kontroller selv.) Da x ↦→ F · x fremskriver populationen x med én m˚aned,
vil F −1 tilbageskrive populationen med én m˚aned. Og F −k , defineret som
(F −1 ) k , vil tilbageskrive populationen k m˚aneder.
.
5 Lineære ligningssystemer
Mange opgaver i og udenfor matematik leder til opstilling af ligningssystemer
med flere ubekendte, f.eks. m ligninger med n ubekendte; at løse
(6)