Lineær Algebra Differentialligninger

4. INVERSE MATRICER 21
Hvis B er b˚ade højre- og venstre invers til A, kaldes B en to-sidet invers
til A. N˚ar man bare siger “B er en invers til A”, mener man at den er en
to-sidet invers. Hvis A har en to-sidet invers, kaldes A invertibel.
Eksempel 1. Matricen
A =
2 1 −2
5 3 −4
har en højre-invers, nemlig matricen B givet ved
⎡ ⎤
5 0
B = ⎣ −7 1 ⎦.
1
At A · B = I er en simpel øvelse i matrix-multiplikation
2
⎡ ⎤
5 0
2 1 −2
· ⎣ −7 1 ⎦
1 0
= .
5 3 −4
1 0 1
1 2
Derimod er B ikke venstre-invers til A, idet der gælder
⎡ ⎤
5 0
⎣ −7 1 ⎦ ·
1
som jo ikke er = I 3 .
1
2
2 1 −2
5 3 −4
1
2
⎡
= ⎣
Her skal nævnes to ikke-trivielle fakta:
10 5 −10
−9 −4 10
4.5 2.5 −4
Faktum 1: hvis A har en to-sidet invers, s˚a er A en kvadratisk matrix.
Faktum 2: hvis A er kvadratisk, og har en højre- eller har en venstre invers,
s˚a er A invertibel (med den p˚agældende højre- hhv. venstre- inverse som
tosidet invers). Det vil blive vist i §7.
Eksempel 2. Betragt matricen
A =
1 2
1 −1
Den har en højre invers, nemlig matricen B givet ved
B =
.
1/3 2/3
1/3 −1/3
hvad man nemt kontrollerer ved udregning: A · B = I 2 . Man kan ogs˚a let
ved udregning kontrollere B · A = I 2 , men denne sidste udregning kan man
,
⎤
⎦,