Lineær Algebra Differentialligninger

20
Opgave 5. Betragt den lineære afbildning f : R 3 → R 2 givet ved (x,y,z) ↦→ (x,y)
(“projektion ned p˚a gulvets plan”). Angiv dens matrix.
Opgave 6. Betragt funktionen F : R 2 → R 2 givet ved
F(u,v) = (ucos v,usin v).
Angiv Jacobi-matricen dxF for vilk˚arlig x = (u,v) ∈ R 2 .
Opgave 7. Betragt funktionen F : R 2 → R 3 givet ved
F(x,y) = (6x + 3y,2x + y,45x + 4y).
Angiv Jacobi-matricen duF for vilk˚arlig u = (x,y) ∈ R 2 (den viser sig at være
uafhængig af u).
Opgave 8. Betragt den parametriske kurve g : R → R 2 givet ved x(t) = t 2 ,
y(t) = t 3 (jvf. [S] 1.7 Opg. 8). Angiv Jacobi-matricen du(g) for u = 2 ∈ R.
Opgave 9. 1) Betragt den parametriske kurve g : R → R 2 givet ved x(t) = sin 2t,
y(t) = cos t. Angiv Jacobi-matricen d0(g). 2) Betragt funktionen f : R 2 → R
givet ved f(x,y) = x 2 y + 3xy 4 . Angiv Jacobi-matricen dv(f) for f i punktet
v = (0,1). 3) Angiv matrixproduktet dv(f) · d0(g) (det er en 1 × 1-matrix, alts˚a
et tal.) 4) Angiv (f ◦ g) ′ (0) (læg mærke til, at f ◦ g er en funktion R → R). 5)
Sammenlign med [S], 11.5 Ex. 1.
Opgave 10. Opstil “Chain Rule Case II” ([S] s. 792) som matrix-ligning A·B = C,
med A og C 1 × 2 matricer og B en 2 × 2 matrix.
Opgave 11. Lad f : R n → R være en lineær afbildning. Vis at gradientvektoren
∇f(P) er den samme for alle punkter P ∈ R n . Sammenlign ∇f(P) med Matr(f).
(Vink: skriv et regneudtryk op for f.)
Opgave 12. Lad f : R n → R m være en lineær afbildning. Vis at du(f) (=Jacobimatricen
for f i u) er den samme for alle punkter u ∈ R n . Vis at du(f) = Matr(f).
4 Inverse matricer
For en given matrix A kan man spørge efter om den har en højre-invers, og
om den har en venstre-invers. Lad A være en m ×n matrix. En højre-invers
til A er en n × m matrix B s˚a at
A · B = I m ;
en venstre-invers til A er en n × m matrix C s˚a at
C · A = I n .