Lineær Algebra Differentialligninger

3. LINEÆRE FUNKTIONER 19
Bevis. Lad f(u) = A · u for alle u ∈ R n , og lad g(v) = B · v for alle
v ∈ R m . M.a.o. A = Matr(f) og B = Matr(g). Nu regner vi p˚a (g ◦ f)(u),
for vilk˚arlig u ∈ R n ; det giver
g(f(u)) = g(A · u) = B · (A · u) = (B · A) · u,
s˚a at alts˚a g ◦ f best˚ar i multiplikation med matricen B · A.
Idet vi jo betegner matricen svarende til en lineær afbildning f : R n →
R m som Matr(f), kan Sætningen skrives kort
Matr(g ◦ f) = Matr(g) · Matr(f)
Eksempel 3. (De trigonometriske additionsformler). I fortsættelse af Eksempel
2: det er klart, at hvis α og β er to vinkler, s˚a er Dα+β = Dα ◦ Dβ.
Af Matr(g ◦ f) = Matr(g) · Matr(f) og Eksempel 2 (for θ henholdsvis α + β,
α og β) f˚as derfor
cos(α + β) − sin(α + β)
sin(α + β) cos(α + β)
=
cosα − sin α
sin α cosα
·
cosβ − sin β
sin β cosβ
Sammenligner man indgangene (1, 1) i de to sider af denne ligning, har man
additionsformlen for cos “ganske gratis”:
cos(α + β) = cosαcosβ − sin α sin β.
Tilsvarende giver sammenligning af indgangene (2, 1) additionsformlen for
sin.
Opgaver
Opgave 1. Lad f og g være lineære afbildninger R n → R m . Antag at f(e 1) =
g(e 1),... ,f(e n) = g(e n). Vis, at f = g.
Opgave 2. Betragt funktionen f : R 2 → R givet ved f(x,y) = 3x − 2y. Vis at f
er lineær, og angiv Matr(f). Angiv vektoren ∇f(P) hvor P = (4,5).
Opgave 3. Betragt afbildningen R 2 → R 2 , der best˚ar i “spejling i y-aksen”, alts˚a
(x,y) ↦→ (−x,y). Vis at den er lineær, og angiv dens matrix.
Opgave 4. Betragt den lineære afbildning f : R 2 → R 2 givet ved (x,y) ↦→
(x+y,x −y) (sml. [S] s. 907, formel 10). Angiv dens matrix. Angiv ogs˚a matricen
for f ◦ f.
.