Lineær Algebra Differentialligninger

18
hvor prikken til højre betegner matrix-multiplikation.
Den recept, der følger af beviset for Sætning 5, er alts˚a:
Matr(f) har som sin j’te søjle vektoren f(e j).
Eksempel 1. Eksemplet i begyndelsen af dette afsnit,
f(x, y) = (4x − y, 5x + y, 3y)
er en lineær afbildning R2 → R3 . Den repræsenteres ved 3 × 2 matricen
⎡ ⎤
4 −1
Matr(f) = ⎣ 5 1 ⎦ ;
0 3
thi ⎡
⎣
4 −1
5 1
0 3
⎤
⎦ ·
x
y
⎡
= ⎣
4x − y
5x + y
3y
Eksempel 2. Betragt talplanen R 2 , og betragt drejningen Dθ p˚a θ radian
mod uret. Det er en lineær afbildning. Første enhedsvektor e 1 (alts˚a en-
hedsvektoren i p˚a x-aksen) g˚ar ved drejningen Dθ i vektoren
cosθ
sin θ
mens anden enhedsvektor e 2 (alts˚a enhedsvektoren j p˚a y-aksen) g˚ar over i
s˚a at
Matr(Dθ) =
− sin θ
cosθ
,
,
cosθ − sin θ
sin θ cos θ
Sammensætning g ◦ f af lineære afbildninger f og g igen er lineær.
Sætning 6 Lad f og g være lineære funktioner mellem koordinatvektorrum
⎤
⎦.
.
R n f ✲ R m g ✲ R p ,
s˚a er den matrix, der svarer til den sammensatte funktion g ◦ f netop matrixproduktet
af matricen svarende til g med matricen svarende til f.