Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
3. LINEÆRE FUNKTIONER 17<br />
et fast tal blandt tallene 1, . . ., n er e j defineret som det n tupel, der har et<br />
1-tal p˚a j’te plads og 0’er ellers. F.eks. er for n = 3 de tre enhedsvektorer<br />
i R 3 givet som e 1 = (1, 0, 0); e 2 = (0, 1, 0) og e 3 = (0, 0, 1) (ogs˚a kaldet<br />
henholdsvis i,j og k, jvf. [S] s. 657; men den type notation er selvsagt ikke<br />
egnet for generelle n). – Bemærk, at A · e j er lig j’te søjle i A.<br />
Bevis for Sætning 5. Vi tager den matrix A, der som sin j’te søjle har<br />
f(e j) ∈ R m (j = 1, . . ., n). Her betegner e j den j’te enhedsvektor i R n<br />
skrevet op som søjlematrix. Vi skal nu vise, at for vilk˚arlig x gælder<br />
f(x) = A · x, (4)<br />
(i udtrykket til højre er det underforst˚aet, at x er skrevet op som søjlematrix).<br />
Hvis x er søjlematricen med indgange (x1, . . ., xn), s˚a kan x skrives som<br />
linearkombination af e j’erne p˚a følgende m˚ade 2 :<br />
x = x1e 1 + x2e 2 + . . . + xne n,<br />
og fordi f var antaget at være lineær, alts˚a ombyttelig med linearkombinationsdannelse,<br />
har vi<br />
f(x) = f(x1e 1 + x2e 2 + . . . + xne n) = x1f(e 1) + x2f(e 2) + . . . + xnf(e n).<br />
Men f(ej) er j’te søjle i A. Udtrykket her er alts˚a linearkombination af A’s<br />
søjler med koefficienter x1, x2, . . .,xn, alts˚a netop, ifølge Sætning 2,<br />
⎡ ⎤<br />
A ·<br />
⎢<br />
⎣<br />
x1<br />
x2<br />
. . .<br />
xn<br />
Dermed er sætningen vist.<br />
To forskellige m×n matricer giver anledning til forskellige lineære afbildninger.<br />
For hvis A = B, s˚a er der et par tilsvarende søjler i A og B, der er<br />
forskellige, f.eks. j’te søjle. Hvis de lineære afbildninger, der hører til A og<br />
B kaldes henholdsvis f og g, s˚a gælder f(e j) = g(e j), de er jo henholdsvis j<br />
te søjle i A og j’te søjle i B.<br />
Der er alts˚a en bijektiv korrespondance mellem mængden af lineære afbildninger<br />
R n → R m , p˚a den ene side, og mængden af m × n matricer p˚a<br />
den anden. Den matrix A, der svarer til en lineær afbildning f : R n → R m ,<br />
vil vi betegne Matr(f). Ligningen (4) kan alts˚a skrives<br />
2 jvf. Eks. 7 i §1, for tilfældet n = 3<br />
⎥<br />
⎦ .<br />
f(u) = Matr(f) · u, (5)