Lineær Algebra Differentialligninger

16
Lad A være en fast m ×n-matrix. Den definerer en afbildning (funktion)
f fra R n til R m p˚a følgende m˚ade: givet et “input” u ∈ R n . Vi opfatter u
som søjlematrix, alts˚a som en n × 1-matrix, og matrix-multiplikationen A · u
udføres. Den har som resultat en m × 1-matrix, alts˚a en søjlematrix (der
kan opfattes som vektor i R m ), og denne vektor er da output. Mere kort,
funktionen f defineret ved matricen A er givet ved forskriften f(u) = A · u.
Vi er allerede i Eksemplet i §1 stødt p˚a en lineær funktion R2 → R3 af den nævnte art: den “absolutte” ernæringsvektor (protein, fedt, kulhydrat)
∈ R3 som funktion af frokost-vektoren (vægtmængde skovhuggerbrød,
vægtmængde letmælk)∈ R2 ; denne funktion er givet ved en vis 3 ×2 matrix,
nemlig ernæringstabellen for de nævnte madvarer (dvs. den 3×2-matrix, der
har de to specifikke ernæringsvektorer, for henholdsvis brød og mælk, som
sine søjler). Det gennemregnede eksempel fra §1 ser alts˚a s˚adan ud:
⎡
⎣
6 3.6
2 1.5
45 4.5
⎤
⎦ ·
1.5
2
⎡
= ⎣
16.2
6
76.5
(Det kan opfattes som en illustration til Sætning 2.)
Ogs˚a Fibonaccis kaninmodel falder ind under dette mønster: Populationsvektoren
i én m˚aned er en lineær funktion af populationsvektoren den
foreg˚aende m˚aned, nemlig givet ved matrix-multiplikation fra venstre med
en vis 2 × 2 matrix.
Sætning 4 Givet en m×n-matrix A. S˚a gælder: Funktionen f : R n → R m ,
defineret ved at f(u) = A · u , er lineær, dvs. opfylder
f(u + v) = f(u) + f(v)
f(α · u) = α · f(u)
for vilk˚arlige u, v ∈ R n og vilk˚arlige reelle tal α.
Med andre ord: A · (u + v) = A · u + A · v og A · (αu) = α(A · u). Dette
følger af elementære regneregler for plus og gange. – Omvendt:
Sætning 5 Givet en lineær afbildning f : R n → R m . Den fremkommer p˚a
denne m˚ade fra en (og fra netop én) m × n matrix A (som ogs˚a betegnes
Matr(f)).
Denne Sætning vil vi bevise. Beviset giver samtidig recepten p˚a hvordan
man fabrikerer den ønskede matrix. I beviset f˚ar vi brug for nogle specielle
vektorer i R n , som kaldes de n standard enhedsvektorer, e 1 , . . .,e n . For j
⎤
⎦.