Lineær Algebra Differentialligninger

3. LINEÆRE FUNKTIONER 15
3 Lineære funktioner
Det er almindeligt at kalde en funktion f(x) = αx +β for en lineær funktion.
Dens graf er jo en ret linie (med hældningskoefficient α). I lineær algebra
betragter man mest homogent lineære funktioner, dvs. med β = 0, eller
f(0) = 0. Til gengæld betragter man ikke bare funktioner R → R, men
funktioner R n → R m .
Her er et eksempel p˚a en (homogent) lineær funktion f : R 2 → R 3 :
f(x, y) = (4x − y, 5x + y, 3y).
Følgende er et eksempel p˚a en homogent lineær funktion f : R 2 → R 2 ,
f(x, y) = (y, x + y).
(Det er funktionen fra Fibonaccis kaninmodel !) Fra et formel-synspunkt er
det karakteristiske, at der ikke optræder konstantled, og at de uafhængige
variable (x, y og z i det første eksempel) optræder i første potens: f.eks. x 2 ,
y −1 eller xz forekommer ikke.
Der er en mere begrebsmæssig m˚ade at beskrive (homogent) lineære funktioner
f p˚a: en homogent lineær funktion er en funktion f, der er ombyttelig
med linearkombinationsdannelse, dvs. at de opfylder
f(x1u 1 + . . . + xku k) = x1f(u 1) + . . . + xkf(u k),
for vilk˚arlige vektorer u 1, . . .,u k og for vilk˚arlige skalarer x1, . . .,xk. Specielt
er lineære funktioner ombyttelig med sum-dannelse af to led
og med multiplikation med skalarer,
Af det sidste følger specielt f(0) = 0:
f(u 1 + u 2) = f(u 1) + f(u 2),
f(t · u) = t · f(u).
f(0) = f(0 · 0) = 0 · f(0) = 0,
(fordi 0 · u = 0 ligegyldigt hvad u er).
Omvendt, hvis en funktion opfylder f(u 1 + u 2) = f(u 1) + f(u 2) og
f(t · u) = t · f(u) for alle u 1, u 2, u og t, s˚a er f ombyttelig med vilk˚arlige
linearkombinationer – for linearkombinationer kan jo opbygges ved hjælp af
vektor-addition og multiplikation-af-vektorer-med-skalarer.