Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
3. LINEÆRE FUNKTIONER 15<br />
3 <strong>Lineær</strong>e funktioner<br />
Det er almindeligt at kalde en funktion f(x) = αx +β for en lineær funktion.<br />
Dens graf er jo en ret linie (med hældningskoefficient α). I lineær algebra<br />
betragter man mest homogent lineære funktioner, dvs. med β = 0, eller<br />
f(0) = 0. Til gengæld betragter man ikke bare funktioner R → R, men<br />
funktioner R n → R m .<br />
Her er et eksempel p˚a en (homogent) lineær funktion f : R 2 → R 3 :<br />
f(x, y) = (4x − y, 5x + y, 3y).<br />
Følgende er et eksempel p˚a en homogent lineær funktion f : R 2 → R 2 ,<br />
f(x, y) = (y, x + y).<br />
(Det er funktionen fra Fibonaccis kaninmodel !) Fra et formel-synspunkt er<br />
det karakteristiske, at der ikke optræder konstantled, og at de uafhængige<br />
variable (x, y og z i det første eksempel) optræder i første potens: f.eks. x 2 ,<br />
y −1 eller xz forekommer ikke.<br />
Der er en mere begrebsmæssig m˚ade at beskrive (homogent) lineære funktioner<br />
f p˚a: en homogent lineær funktion er en funktion f, der er ombyttelig<br />
med linearkombinationsdannelse, dvs. at de opfylder<br />
f(x1u 1 + . . . + xku k) = x1f(u 1) + . . . + xkf(u k),<br />
for vilk˚arlige vektorer u 1, . . .,u k og for vilk˚arlige skalarer x1, . . .,xk. Specielt<br />
er lineære funktioner ombyttelig med sum-dannelse af to led<br />
og med multiplikation med skalarer,<br />
Af det sidste følger specielt f(0) = 0:<br />
f(u 1 + u 2) = f(u 1) + f(u 2),<br />
f(t · u) = t · f(u).<br />
f(0) = f(0 · 0) = 0 · f(0) = 0,<br />
(fordi 0 · u = 0 ligegyldigt hvad u er).<br />
Omvendt, hvis en funktion opfylder f(u 1 + u 2) = f(u 1) + f(u 2) og<br />
f(t · u) = t · f(u) for alle u 1, u 2, u og t, s˚a er f ombyttelig med vilk˚arlige<br />
linearkombinationer – for linearkombinationer kan jo opbygges ved hjælp af<br />
vektor-addition og multiplikation-af-vektorer-med-skalarer.