Lineær Algebra Differentialligninger

12
13, 21, ... . Disse tal spiller iøvrigt en rolle i phyllotaxi, læren om hvordan
bladene stiller sig p˚a en stængel, eller skællene p˚a en kogle.)
Stort set vil total-populationen øges eksponentielt, men hvordan vil den procentvise
aldersprofil udvikle sig? Findes der en populationsvektor (p,q), hvis procentvise
aldersprofil er uændret, alts˚a s˚a at populationsvektoren for næste m˚aned
er proportional med (p,q),
0 1
1 1
p
·
q
p
= λ ·
q
λp
(=
λq
) ?
Betragt f.eks. populationsvektoren (55,89); populationsvektoren for næste m˚aned
vil være 0 1
1 1
55
·
89
=
89
144
der næsten er proportional med (55,89), med proportionalitetsfaktor λ = 1.62:
55
1.62 ·
89
=
eller (idet vi skriver = i stedet for ≈)
0 1
1 1
55
·
89
89.1
144.2
≈
,
89
144
55
= 1.62 ·
89
Problemer af denne art vil blive studeret under betegnelsen “egenværdier og
egenvektorer” i §9. (“populationsvektoren (55,89) er (næsten) en egenvektor for
Fibonacci-matricen, med egenværdi 1.62” .)
Udover matrix-multiplikation har mængden af matricer en anden nyttig,
men knap s˚a overraskende, struktur. Nemlig: man kan addere matricer af
samme format, nemlig ved at addere “plads for plads”. Det er en generalisation
af addition af koordinatvektorer. F.eks. for 3 × 2 matricer A og
B:
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎣
a11 a12
a21 a22
a31 a32
⎦ + ⎣
b11 b12
b21 b22
b31 b32
⎦ = ⎣
,
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
a31 + b31 a32 + b32
Tilsvarende kan man multiplicere en matrix A med en skalar λ ved at
multiplicere alle indgange i den med λ. Det skrives λA. Der gælder simple
regneregler som
A · λB = λ(A · B).
⎦.