Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
12<br />
13, 21, ... . Disse tal spiller iøvrigt en rolle i phyllotaxi, læren om hvordan<br />
bladene stiller sig p˚a en stængel, eller skællene p˚a en kogle.)<br />
Stort set vil total-populationen øges eksponentielt, men hvordan vil den procentvise<br />
aldersprofil udvikle sig? Findes der en populationsvektor (p,q), hvis procentvise<br />
aldersprofil er uændret, alts˚a s˚a at populationsvektoren for næste m˚aned<br />
er proportional med (p,q),<br />
0 1<br />
1 1<br />
<br />
p<br />
·<br />
q<br />
<br />
<br />
p<br />
= λ ·<br />
q<br />
<br />
λp<br />
(=<br />
λq<br />
<br />
) ?<br />
Betragt f.eks. populationsvektoren (55,89); populationsvektoren for næste m˚aned<br />
vil være 0 1<br />
1 1<br />
<br />
55<br />
·<br />
89<br />
<br />
=<br />
89<br />
144<br />
der næsten er proportional med (55,89), med proportionalitetsfaktor λ = 1.62:<br />
<br />
55<br />
1.62 ·<br />
89<br />
<br />
=<br />
eller (idet vi skriver = i stedet for ≈)<br />
0 1<br />
1 1<br />
<br />
55<br />
·<br />
89<br />
89.1<br />
144.2<br />
<br />
<br />
≈<br />
<br />
,<br />
89<br />
144<br />
<br />
55<br />
= 1.62 ·<br />
89<br />
Problemer af denne art vil blive studeret under betegnelsen “egenværdier og<br />
egenvektorer” i §9. (“populationsvektoren (55,89) er (næsten) en egenvektor for<br />
Fibonacci-matricen, med egenværdi 1.62” .)<br />
Udover matrix-multiplikation har mængden af matricer en anden nyttig,<br />
men knap s˚a overraskende, struktur. Nemlig: man kan addere matricer af<br />
samme format, nemlig ved at addere “plads for plads”. Det er en generalisation<br />
af addition af koordinatvektorer. F.eks. for 3 × 2 matricer A og<br />
B:<br />
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡<br />
⎤<br />
⎣<br />
a11 a12<br />
a21 a22<br />
a31 a32<br />
⎦ + ⎣<br />
b11 b12<br />
b21 b22<br />
b31 b32<br />
⎦ = ⎣<br />
<br />
,<br />
<br />
a11 + b11 a12 + b12<br />
a21 + b21 a22 + b22<br />
a31 + b31 a32 + b32<br />
Tilsvarende kan man multiplicere en matrix A med en skalar λ ved at<br />
multiplicere alle indgange i den med λ. Det skrives λA. Der gælder simple<br />
regneregler som<br />
A · λB = λ(A · B).<br />
⎦.