Lineær Algebra Differentialligninger

2. MATRICER 11
hvor enkeltlinier betegner kaninpar i deres livsbane, og dobbeltlinien betegner
fødsel af nye kaninpar.
Det er algebraisk mere hensigtsmæssigt at stille det op p˚a matrix-form.
Populationen til et givet tidspunkt kan stilles op som en 2-dimensional vektor
p
(p, q), eller bedre, en 2-dimensional søjlematrix med unger øverst og
q
voksne nederst; oktober-populationen (q, p + q) fremkommer af septemberpopulationen
(p, q) ved matrix-multiplikation:
q
p + q
=
0 1
1 1
tilsvarende for andre m˚aneder. Med andre ord, den funktion f, der til “populationsvektoren”
(p, q) for én m˚aned tilordner populationsvektoren for næste
m˚aned, er den lineære funktion R2 → R2 , der, ifølge Sætning 5 (nedenfor)
0 1
er knyttet til matricen F = .
1 1
Tilsvarende vil den matrix, der beskriver populationens udvikling p˚a 2, 3
eller 4 m˚aneder, være henholdsvis F 2 , F 3 F 4 :
F 2 =
0 1
1 1
·
0 1
1 1
·
=
p
q
1 1
1 2
F 3
0 1 1 1 1 2
= · =
1 1 1 2 2 3
F 4
0 1 1 2 2 3
= · = .
1 1 2 3 3 5
Opgave B. Vis, at F 5 , F 6 og F 7 er henholdsvis
3 5
5 8
5 8
,
8 13
og
8 13
13 21
Hvis man starter med ét voksent par (og ingen unger), alts˚a med populationsvektoren
(0,1), vil populationen efter 7 m˚aneder alts˚a være
8 13 0 13
· = .
13 21 1 21
Regner man rigtigt, f˚ar man tilsvarende som populationsvektor efter 12
m˚aneder (144,233). (De tal, der efterh˚anden dukker op som indgange i
potenserne af Fibonaccis matrix, kaldes Fibonacci-tallene: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,
.