Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2. MATRICER 11<br />
hvor enkeltlinier betegner kaninpar i deres livsbane, og dobbeltlinien betegner<br />
fødsel af nye kaninpar.<br />
Det er algebraisk mere hensigtsmæssigt at stille det op p˚a matrix-form.<br />
Populationen til et givet tidspunkt kan stilles op som en 2-dimensional vektor<br />
p<br />
(p, q), eller bedre, en 2-dimensional søjlematrix med unger øverst og<br />
q<br />
voksne nederst; oktober-populationen (q, p + q) fremkommer af septemberpopulationen<br />
(p, q) ved matrix-multiplikation:<br />
<br />
q<br />
p + q<br />
<br />
=<br />
0 1<br />
1 1<br />
tilsvarende for andre m˚aneder. Med andre ord, den funktion f, der til “populationsvektoren”<br />
(p, q) for én m˚aned tilordner populationsvektoren for næste<br />
m˚aned, er den lineære funktion R2 → R2 , der, ifølge Sætning 5 (nedenfor)<br />
0 1<br />
er knyttet til matricen F = .<br />
1 1<br />
Tilsvarende vil den matrix, der beskriver populationens udvikling p˚a 2, 3<br />
eller 4 m˚aneder, være henholdsvis F 2 , F 3 F 4 :<br />
F 2 =<br />
0 1<br />
1 1<br />
<br />
·<br />
0 1<br />
1 1<br />
<br />
·<br />
<br />
=<br />
p<br />
q<br />
<br />
1 1<br />
1 2<br />
F 3 <br />
0 1 1 1 1 2<br />
= · =<br />
1 1 1 2 2 3<br />
F 4 <br />
0 1 1 2 2 3<br />
= · = .<br />
1 1 2 3 3 5<br />
Opgave B. Vis, at F 5 , F 6 og F 7 er henholdsvis<br />
3 5<br />
5 8<br />
<br />
5 8<br />
,<br />
8 13<br />
<br />
og<br />
8 13<br />
13 21<br />
Hvis man starter med ét voksent par (og ingen unger), alts˚a med populationsvektoren<br />
(0,1), vil populationen efter 7 m˚aneder alts˚a være<br />
<br />
8 13 0 13<br />
· = .<br />
13 21 1 21<br />
Regner man rigtigt, f˚ar man tilsvarende som populationsvektor efter 12<br />
m˚aneder (144,233). (De tal, der efterh˚anden dukker op som indgange i<br />
potenserne af Fibonaccis matrix, kaldes Fibonacci-tallene: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,<br />
<br />
<br />
.