Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

10 Sætning 3 Lad A være en m × n matrix. S˚a gælder I m · A = A = A · I n . Dette følger af elementære regneregler for plus og gange, men kræver omhu med bogholderiet over summations-indices. Opgave A. Udregn matrix-produktet ⎡ 1 ⎤ ⎡ ⎣ 1 ⎦ · ⎣ 1 2.1 Fibonacci-tal og matricer a b c d e f Den italienske matematiker Fibonacci stillede i sin bog “Liber Abaci” fra 1202 følgende spørgsm˚al. Hvor mange kaninpar vil der fremkomme p˚a ét ˚ar, (begyndende med ét par), n˚ar hvert par hver m˚aned avler et nyt par, som selv bliver formeringsdygtigt fra og med den næste m˚aned? Lad populationen i en given m˚aned, f.eks. september, best˚a af p par unger og q par voksne, s˚a vil den i næste m˚aned, oktober, best˚a af q par unger (nemlig ét par avlet af hver af de q par voksne, der fandtes i september), og p + q par voksne (nemlig de q par voksne, der var i forvejen, og de p par unger fra september, der jo er blevet voksne i oktober). Grafisk, med unger øverst og voksne nederst p q ◗ ◗◗◗◗◗◗◗ ✑ ✑✑✑✑✑✑✑✸ ✑ ✑✑✑✑✑✑✑✸ ✲ ⎤ ⎦. q p + q sept. okt.
2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier betegner kaninpar i deres livsbane, og dobbeltlinien betegner fødsel af nye kaninpar. Det er algebraisk mere hensigtsmæssigt at stille det op p˚a matrix-form. Populationen til et givet tidspunkt kan stilles op som en 2-dimensional vektor p (p, q), eller bedre, en 2-dimensional søjlematrix med unger øverst og q voksne nederst; oktober-populationen (q, p + q) fremkommer af septemberpopulationen (p, q) ved matrix-multiplikation: q p + q = 0 1 1 1 tilsvarende for andre m˚aneder. Med andre ord, den funktion f, der til “populationsvektoren” (p, q) for én m˚aned tilordner populationsvektoren for næste m˚aned, er den lineære funktion R2 → R2 , der, ifølge Sætning 5 (nedenfor) 0 1 er knyttet til matricen F = . 1 1 Tilsvarende vil den matrix, der beskriver populationens udvikling p˚a 2, 3 eller 4 m˚aneder, være henholdsvis F 2 , F 3 F 4 : F 2 = 0 1 1 1 · 0 1 1 1 · = p q 1 1 1 2 F 3 0 1 1 1 1 2 = · = 1 1 1 2 2 3 F 4 0 1 1 2 2 3 = · = . 1 1 2 3 3 5 Opgave B. Vis, at F 5 , F 6 og F 7 er henholdsvis 3 5 5 8 5 8 , 8 13 og 8 13 13 21 Hvis man starter med ét voksent par (og ingen unger), alts˚a med populationsvektoren (0,1), vil populationen efter 7 m˚aneder alts˚a være 8 13 0 13 · = . 13 21 1 21 Regner man rigtigt, f˚ar man tilsvarende som populationsvektor efter 12 m˚aneder (144,233). (De tal, der efterh˚anden dukker op som indgange i potenserne af Fibonaccis matrix, kaldes Fibonacci-tallene: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, .
Page 1: Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6: 1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8: 1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10: 1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12: 2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13: 2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 17 and 18: 2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24: 3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26: 4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33 and 34: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 At
Page 35 and 36: 5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 4x1
Page 37 and 38: 6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40: 6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42: 6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44: 6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46: 6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48: 7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 53 and 54: 8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 65 and 66:
9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 61
Page 67 and 68:
9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 63
Page 69 and 70:
10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72:
10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74:
10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76:
10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78:
11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88:
12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90:
13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92:
13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94:
14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
Page 107 and 108:
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114:
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116:
17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118:
18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120:
18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122:
Index 1. ordens differentialligning
Page 123:
INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?