Lineær Algebra Differentialligninger

8
Det anbefales, at man øver sig i matrix-multiplikation med sin krop
(hænder): venstre h˚and bevæger sig hen langs i’te række i matricen A, samtidig
med at højre h˚and bevæger sig ned gennem k’te søjle i matricen B, og
den relevante produktsum dannes under dette forløb, evt. ved hovedregning.
Eksempel 1.
2 1 −2
5 3 −4
⎡
· ⎣
5 0
−7 1
1 1
2
⎤
⎦ =
1 0
0 1
F.eks. er 1-tallet i nederste højre hjørne fremkommet som
Eksempel 2.
2 1 −2
5 3 −4
⎡
· ⎣
3
0
1
⎤
5 · 0 + 3 · 1 + (−4) · 1
2 .
⎦ =
4
11
2
= 3
5
1
+ 0
3
.
−2
+ 1
−4
Sætning 1 Matrix multiplikation er associativ. Mere præcis, lad A, B, og
C være henholdsvis en m × n, n × p og p × q matrix. S˚a gælder
(A · B) · C = A · (B · C).
Dette følger af elementære regneregler for plus og gange, men kræver omhu
med bogholderiet over summations-indices.
Selv hvis formaterne passer, gælder der ikke i almindelighed at A · B =
B · A, sml. Opg. 1. Faktorernes orden er ikke ligegyldig.
Særlig vigtige er matrixprodukter A · B hvor B er en søjlematrix. Lad os
antage, at A er en m×n matrix og B er en n×1 matrix, alts˚a en søjlematrix
af dimension n. S˚a er produktet A · B af format m × 1, alts˚a en søjlematrix
af dimension m. (Dette synspunkt behandles mere udførligt i §3.)
Der er en vigtig sammenhæng mellem begreberne linearkombination, og
matrix-produkt: betragt et matrixprodukt af form af form A · x, hvor x er
en søjlematrix, (af den rette størrelse, for at produktet giver mening, dvs, x
skal have lige s˚a mange indgange som A har søjler, lad os sige at dette antal
er n). Der gælder
.