Lineær Algebra Differentialligninger

114
En konstant løsning
y(x) = b, F(b) = 0
kaldes en ligevægt.
En ligevægt kaldes (lokal) stabil, hvis enhver løsning y(x) som kommer
tilstrækkelig tæt p˚a b, vil konvergere mod b for x g˚aende mod uendelig.
I modsat fald kaldes ligevægten ustabil.
Grafen for funktionen F(y) kaldes fasediagrammet.
Der er en oplagt udvidelse til differentialligningsystemer, som det overlades
læseren at formulere.
Bemærkning 1. I en omegn af en ligevægt y(x) = b, F(b) = 0 kan det
autonome begyndelsesværdiproblem
tilnærmes med den lineære ligning
hvor y(x) ≈ b + z(x).
dy
dx = F(y), y(x0) = b + ǫ
dz
dx = F ′ (b)z, z(x0) = ǫ
Bemærkning 2. For en ligevægt y(x) = b, F(b) = 0 for det autonome
system
dy
= F(y)
dx
gælder (forudsat F(y) er tilstrækkelig ’pæn’)
F ′ (b) < 0: Stabil ligevægt.
F ′ (b) > 0: Ustabil ligevægt.
F ′ (b) = 0: Ingen konklussion.
y ′
Bemærkning 2. Fasediagram
y