Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
18. STABILITET 113<br />
Eksempel 3.[Eksponential af matrix]<br />
Lad A være en n×n-matrix og lad Y(x) være en n×n-matrix af funktioner.<br />
Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet<br />
er en n × n-matrix af funktioner<br />
dY<br />
dx<br />
= AY<br />
Y(0) = In<br />
Y(x) = exp(Ax)<br />
som kaldes eksponentialet.<br />
Hvis A er en diagonalmatrix med diagonalindgange λ1, . . .,λn, s˚a er eksponentialet<br />
exp(Ax) diagonalmatricen med diagonalindgange e λ1x , . . .,e λnx .<br />
Hvis matricen U med søjler u1, . . .,un diagonaliserer A med egenvœrdier<br />
λ1, . . .,λn, Auj = λjuj, s˚a er<br />
A = UΛU −1<br />
udtrykt ved diagonalmatricen Λ og eksponentialet kan beregnes ved<br />
18 Stabilitet<br />
exp(Ax) = U exp(Λx)U −1<br />
Da det normalt ikke er muligt at løse en differentialligning ved et eksplicit<br />
funktionsudtryk, er det vigtigt at kunne beskrive en løsnings egenskaber<br />
p˚a anden vis. Her kommer begreberne ligevægt og stabilitet til deres ret.<br />
I s˚adanne punkter er en tilnærmelse med en lineær differentialligning ofte<br />
meningsfuld. Den følgende opremsning er ultra kort og bør opfattes som en<br />
smagsprøve. Eksemplerne refererer til [Stewart].<br />
Definition 1. En differentialligning<br />
kaldes autonom.<br />
dy<br />
dx<br />
= F(y)