Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

112 y 1 0 1 Eksempel 1. Retningsfelt Som en anvendelse af Eksistens- og entydighedssætningen 32 kan de elementære funktioner genfindes som løsninger til simple differentialligninger. Eksempel 2.[Elementære funktioner] 1) Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet er eksponentialfunktionen dy dx = y, y(0) = 1 y(x) = e x 2) Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet dy1 dx dy2 dx er de trigonometriske funktioner = −y2 = y1 y1(0) = 1, y2(0) = 0 y1(x) = cos x y2(x) = sin x 3) Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet dy1 dx dy2 dx = y2 = y1 y1(0) = 1, y2(0) = 0 er de hyperbolske funktioner (se [Stewart], p. 251.) y1(x) = cosh x = ex +e −x 2 y2(x) = sinh x = ex −e −x 2 x
18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksponential af matrix] Lad A være en n×n-matrix og lad Y(x) være en n×n-matrix af funktioner. Den entydigt bestemte løsning til begyndelsesværdiproblemet er en n × n-matrix af funktioner dY dx = AY Y(0) = In Y(x) = exp(Ax) som kaldes eksponentialet. Hvis A er en diagonalmatrix med diagonalindgange λ1, . . .,λn, s˚a er eksponentialet exp(Ax) diagonalmatricen med diagonalindgange e λ1x , . . .,e λnx . Hvis matricen U med søjler u1, . . .,un diagonaliserer A med egenvœrdier λ1, . . .,λn, Auj = λjuj, s˚a er A = UΛU −1 udtrykt ved diagonalmatricen Λ og eksponentialet kan beregnes ved 18 Stabilitet exp(Ax) = U exp(Λx)U −1 Da det normalt ikke er muligt at løse en differentialligning ved et eksplicit funktionsudtryk, er det vigtigt at kunne beskrive en løsnings egenskaber p˚a anden vis. Her kommer begreberne ligevægt og stabilitet til deres ret. I s˚adanne punkter er en tilnærmelse med en lineær differentialligning ofte meningsfuld. Den følgende opremsning er ultra kort og bør opfattes som en smagsprøve. Eksemplerne refererer til [Stewart]. Definition 1. En differentialligning kaldes autonom. dy dx = F(y)
Page 1:
Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6:
1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8:
1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10:
1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12:
2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14:
2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16:
2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18:
2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26:
4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33 and 34:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 At
Page 35 and 36:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 4x1
Page 37 and 38:
6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40:
6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42:
6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44:
6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46:
6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48:
7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56:
8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58:
8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60:
9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 61
Page 67 and 68: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 63
Page 69 and 70: 10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94: 14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 101 and 102: 15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 111 and 112: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115: 17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 119 and 120: 18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122: Index 1. ordens differentialligning
Page 123: INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?