Lineær Algebra Differentialligninger

17. GENEREL LIGNING 111
Definition 1. Lad I, J være ˚abne intervaller og F(x, y) : I ×J → R en reel
funktion. En løsning til 1. ordens differentialligningen
dy
dx
= F(x, y)
er en differentiabel funktion y(x) : I ′ → J p˚a et ˚abent delinterval I ′ ⊆ I,
som indsat giver
y ′ (x) = F(x, y(x)), x ∈ I ′
Følgende ikke helt optimale sætning er ofte anvendelig til at sikre eksistens
og entydighed af løsninger til 1. ordens differentialligninger.
Sætning 32 (Eksistens og entydighed) Antag at F(x, y) er kontinuert
og ∂F
∂y (x, y) eksisterer og er kontinuert i I × J. For et givet (x0, y0) ∈ I ×
J findes entydigt bestemt et maximalt ˚abent delinterval I ′ ⊆ I om x0 og
en differentiabel funktion y(x) : I ′ → J, som er en løsning til 1. ordens
differentialligningen
og opfylder
dy
dx
= F(x, y)
y(x0) = y0
Bemærkning 1. Den udvidede ligning
kaldes et begyndelsesværdiproblem.
dy
dx = F(x, y), y(x0) = y0
Eksistens- og entydighedssætningen 32 for begyndelsesværdiproblemer har en
vigtig udvidelse til differentialligningssystemer, som det overlades til læseren
at formulere.
Eksempel 1. Differentialligningen
dy
dx = x3 y + e xy
har løsningskurver igennem ethvert (x0, y0) ∈ R 2 .
Løsninger kan ikke umiddelbart udtrykkes ved kendte elementære funktioner.