Lineær Algebra Differentialligninger

110
en løsning, der opfylder y(0) = y0.
For en diagonaliserbar koefficientmatrix kan man finde den fuldstændige
løsning.
Sætning 30A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlen y(x) = (yi(x))
samt det homogene lineœre differentialligningssystem
dy
dx
= Ay
Hvis matricen U med søjler u1, . . .,un diagonaliserer A med egenvœrdier
λ1, . . .,λn, Auj = λjuj, s˚a er den fuldstœndige løsning givet ved
hvor C1, . . .,Cn er arbitrœre.
y(x) = C1e λ1x u1 + · · · + Cne λnx un
Sætning 31A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlerne b = (bi),
y(x) = (yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem
dy
dx
= Ay + b
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis matricen
U med søjler u1, . . .,un diagonaliserer A med egenvœrdier λ1, . . .,λn, Auj =
λjuj, s˚a er den fuldstœndige løsning givet ved
hvor C1, . . .,Cn er arbitrœre.
17 Generel ligning
y(x) = C1e λ1x u1 + · · · + Cne λnx un + v
Emnet differentialligninger er meget omfattende. Det er kun i specialtilfælde
muligt at angive løsninger ved elementære funktionsudtryk. For en
ren matematisk behandling af differentialligninger, indføres en mere præcis
definition af en “differentialligning og en løsning”, som er hensigtsmæssig for
formulering og bevis af en s˚akaldt “eksistens- og entydighedssætning”.
Her er s˚a en lidt mere præcis sprogbrug for differentialligninger. Formuleringen
for differentialligningssystemer overlades til læseren.