Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
110<br />
en løsning, der opfylder y(0) = y0.<br />
For en diagonaliserbar koefficientmatrix kan man finde den fuldstændige<br />
løsning.<br />
Sætning 30A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlen y(x) = (yi(x))<br />
samt det homogene lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay<br />
Hvis matricen U med søjler u1, . . .,un diagonaliserer A med egenvœrdier<br />
λ1, . . .,λn, Auj = λjuj, s˚a er den fuldstœndige løsning givet ved<br />
hvor C1, . . .,Cn er arbitrœre.<br />
y(x) = C1e λ1x u1 + · · · + Cne λnx un<br />
Sætning 31A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlerne b = (bi),<br />
y(x) = (yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay + b<br />
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis matricen<br />
U med søjler u1, . . .,un diagonaliserer A med egenvœrdier λ1, . . .,λn, Auj =<br />
λjuj, s˚a er den fuldstœndige løsning givet ved<br />
hvor C1, . . .,Cn er arbitrœre.<br />
17 Generel ligning<br />
y(x) = C1e λ1x u1 + · · · + Cne λnx un + v<br />
Emnet differentialligninger er meget omfattende. Det er kun i specialtilfælde<br />
muligt at angive løsninger ved elementære funktionsudtryk. For en<br />
ren matematisk behandling af differentialligninger, indføres en mere præcis<br />
definition af en “differentialligning og en løsning”, som er hensigtsmæssig for<br />
formulering og bevis af en s˚akaldt “eksistens- og entydighedssætning”.<br />
Her er s˚a en lidt mere præcis sprogbrug for differentialligninger. Formuleringen<br />
for differentialligningssystemer overlades til læseren.