Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 109<br />
s˚a er enhver løsning af formen<br />
y(x) = z(x) + z0(x)<br />
hvor z(x) er en løsning til den homogene part af systemet.<br />
En egenvektor giver en 1-parameter mængde af løsninger for det homogene<br />
system.<br />
Sætning 27A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlen y(x) = (yi(x))<br />
samt det homogene lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay<br />
Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er<br />
løsninger, hvor C er arbitrær.<br />
y(x) = Ce λx u<br />
Sætning 28A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlerne b = (bi),<br />
y(x) = (yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay + b<br />
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis yderligere<br />
u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er<br />
løsninger, hvor C er arbitrœr.<br />
y(x) = Ce λx u + v<br />
Sætning 29A Betragt n × n-matricen A = (aij) og n-søjlen y(x) = (yi(x))<br />
samt det homogene lineœre differentialligningssystem<br />
Hvis<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay<br />
y0 = C1u1 + · · · + Cmum<br />
er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenvœrdier λ1, . . .,λm,<br />
Auj = λjuj, s˚a er<br />
y(x) = C1e λ1x u1 + · · · + Cme λmx u2