Lineær Algebra Differentialligninger

106
Opgaver
Opgave 3. Betragt differentialligningssystemet
dy1
dx = 3y1 + 2y2
dy2
dx = y1 + 4y2
Det oplyses, at vektoren u = (2, −1) er en egenvektor for matricen
A =
3 2
1 4
Angiv den løsning y(x) = (y1(x),y2(x)) der opfylder y(0) = −u, alts˚a
(y1(0),y2(0)) = (−2,1)
Opgave 4. Betragt differentialligningssystemet
y ′ 1 = −y1 + y2
y ′ 2
= y2
Det oplyses, at vektoren u = (1,0) er en egenvektor for matricen
A =
−1 1
0 1
Angiv den løsning y(x) = (y1(x),y2(x)) der opfylder y(0) = 2u, alts˚a
(y1(0),y2(0)) = (2,0)
Opgave 5. Betragt differentialligningssystemet
y ′ 1 = 2y1 + 3y2
y ′ 2 = 3y1 + 2y2
Det oplyses, at vektorerne u1 = (1,1),u2 = (1, −1) er en egenvektorer for systemets
koefficientmatrix. Angiv den fuldstændige løsning.
Opgave 6. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet
y ′ 1 = 7y1 + 2y2 + 7
y ′ 2 = 3y1 + 8y2 − 3