Lineær Algebra Differentialligninger

2. MATRICER 7
med reelle tal. Rækkerne nummereres (eller adresseres) fra oven, søjlerne fra
venstre. F.eks. har nederste venstre hjørne i ovenst˚aende matrix adressen
(3,1). Man bruger ogs˚a betegnelsen: matricens (i, j) ′ te indgang om det tal,
der st˚ar i i’te række og j’te søjle (hvor i = 1, 2, . . ., m og j = 1, 2, . . ., n).
I en m×n-matrix kan hver af de m rækker opfattes som en n-dimensional
koordinatvektor, mens hver af de n søjler kan opfattes som en m-dimensional
koordinatvektor.
Omvendt kan en m-dimensional koordinatvektor skrives op som en m×1matrix,
ogs˚a kaldet en søjlematrix eller søjlevektor,
⎡ ⎤
⎢
⎣
a1
a2
.
am
af dimension m; eller den kan skrives op som en 1 × m-matrix, ogs˚a kaldet
en rækkematrix eller en rækkevektor
⎥
⎦
[a1, a2, . . .,am],
af dimension m.
Matricer bruges i vid udstrækning “ude i samfundet”, hvor de dog f.eks.
g˚ar under navnet tabeller. Det aspekt ved matricer, som er særlig interessant
matematisk, er matrix-multiplikation:
Givet en m ×n-matrix A og en n ×p-matrix B, s˚a er deres produkt A ·B
den m ×p matrix, hvis (i, k)’te indgang fremkommer som produktsum af i’te
række i A med k’te søjle i B: m.a.o., den (i, k)’te indgang i produktmatricen
er
ai,1 · b1,k + ai,2 · b2,k + . . . + ai,n · bn,k
n
= ai,j · bj,k,
j=1
hvor ai,j (eller blot aij) betegner den (i, j)’te indgang i matricen A og bj,k
(eller blot bjk) betegner den (j, k)’te indgang i matricen B; i er et helt tal
mellem 1 og m, mens k er et helt tal mellem 1 og p; j er et summationsindex,
der løber fra 1 til n.
Læg mærke til, at rækkerne i A er lige s˚a lange som søjlerne i B, nemlig af
længde n, s˚a at man i produktsummen ikke st˚ar tilbage med nogen indgange,
der ikke er blevet brugt. Matrix-produkt af to matricer giver kun mening
hvis formaterne passer.
Matrix multiplikation vil blive motiveret, se f.eks. eksemplerne nedenfor
i dette Afsnit.