Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 101<br />
Lad<br />
y(x) = C1e λ1x u1 + · · · + Cne λnx un<br />
og Λ = U −1 AU. S˚a er U −1 z og U −1 y begge løsninger til diagonalsystemet<br />
med koefficientmatrix Λ og derfor ens. Heraf følger resultatet.<br />
Sætning 31 Betragt 2×2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) =<br />
(yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay + b<br />
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis matricen<br />
U med søjler u1,u2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ1, λ2, Auj = λjuj,<br />
s˚a er den fuldstœndige løsning givet ved<br />
hvor C1, C2 er arbitrœre.<br />
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2 + v<br />
Følgende opgavetype er repræsentativ for resultaterne i dette afsnit.<br />
Opgave 1. Betragt differentialligningssystemet<br />
y ′ 1 = y1 + y2<br />
y ′ 2 = 8y1 − y2<br />
Det oplyses, at vektoren u = (1, 2) er en egenvektor for matricen<br />
A =<br />
<br />
1 1<br />
8 −1<br />
Angiv den løsning y(x) = (y1(x), y2(x)) der opfylder y(0) = u, alts˚a<br />
(y1(0), y2(0)) = (1, 2).<br />
Løsning. Egenværdien λ = 3 f˚as af udregningen<br />
<br />
1 1 1 3<br />
Au =<br />
= = 3u<br />
8 −1 2 6<br />
Ifølge Sætning 27 er<br />
y(x) = Ce 3x<br />
<br />
1<br />
2