Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
100<br />
Bevis. Gør prøve ved brug af Sætning 27<br />
dy<br />
dx = Ceλx Au = A(y − v) = Ay + b<br />
Sætning 29 Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x))<br />
samt det homogene lineœre differentialligningssystem<br />
Hvis<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay<br />
y0 = C1u1 + C2u2<br />
er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenvœrdier λ1, λ2, Auj =<br />
λjuj, s˚a er<br />
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2<br />
en løsning, der opfylder y(0) = y0.<br />
Bevis. Gør prøve.<br />
For en diagonaliserbar koefficientmatrix kan man finde den fuldstændige<br />
løsning for det homogene tilfælde. Kan man samtidig finde en konstant<br />
løsning til det inhomogene problem, s˚a kan den fuldstændige løsning ogs˚a<br />
angives i dette tilfælde.<br />
Sætning 30 Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x))<br />
samt det homogene lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
dx<br />
= Ay<br />
Hvis matricen U med søjler u1,u2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ1, λ2,<br />
Auj = λjuj, s˚a er den fuldstœndige løsning givet ved<br />
hvor C1, C2 er arbitrœre.<br />
y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2<br />
Bevis. Fra Sætning 26, 27 følger, at linearkombinationerne er løsninger.<br />
Omvendt for en given løsning z, findes C1, . . ., Cn s˚a<br />
z(0) = C1u1 + · · · + Cnun