Lineær Algebra Differentialligninger

More documents

Recommendations

Info

100 Bevis. Gør prøve ved brug af Sætning 27 dy dx = Ceλx Au = A(y − v) = Ay + b Sætning 29 Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem Hvis dy dx = Ay y0 = C1u1 + C2u2 er en linearkombination af egenvektorer for A, med egenvœrdier λ1, λ2, Auj = λjuj, s˚a er y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2 en løsning, der opfylder y(0) = y0. Bevis. Gør prøve. For en diagonaliserbar koefficientmatrix kan man finde den fuldstændige løsning for det homogene tilfælde. Kan man samtidig finde en konstant løsning til det inhomogene problem, s˚a kan den fuldstændige løsning ogs˚a angives i dette tilfælde. Sætning 30 Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x)) samt det homogene lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay Hvis matricen U med søjler u1,u2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ1, λ2, Auj = λjuj, s˚a er den fuldstœndige løsning givet ved hvor C1, C2 er arbitrœre. y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2 Bevis. Fra Sætning 26, 27 følger, at linearkombinationerne er løsninger. Omvendt for en given løsning z, findes C1, . . ., Cn s˚a z(0) = C1u1 + · · · + Cnun
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 101 Lad y(x) = C1e λ1x u1 + · · · + Cne λnx un og Λ = U −1 AU. S˚a er U −1 z og U −1 y begge løsninger til diagonalsystemet med koefficientmatrix Λ og derfor ens. Heraf følger resultatet. Sætning 31 Betragt 2×2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) = (yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem dy dx = Ay + b En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis matricen U med søjler u1,u2 diagonaliserer A med egenvœrdier λ1, λ2, Auj = λjuj, s˚a er den fuldstœndige løsning givet ved hvor C1, C2 er arbitrœre. y(x) = C1e λ1x u1 + C2e λ2x u2 + v Følgende opgavetype er repræsentativ for resultaterne i dette afsnit. Opgave 1. Betragt differentialligningssystemet y ′ 1 = y1 + y2 y ′ 2 = 8y1 − y2 Det oplyses, at vektoren u = (1, 2) er en egenvektor for matricen A = 1 1 8 −1 Angiv den løsning y(x) = (y1(x), y2(x)) der opfylder y(0) = u, alts˚a (y1(0), y2(0)) = (1, 2). Løsning. Egenværdien λ = 3 f˚as af udregningen 1 1 1 3 Au = = = 3u 8 −1 2 6 Ifølge Sætning 27 er y(x) = Ce 3x 1 2
Page 1:
Lineær Algebra og Differentiallign
Page 5 and 6:
1. KOORDINATVEKTORER 1 Dette notes
Page 7 and 8:
1. KOORDINATVEKTORER 3 P˚a grund a
Page 9 and 10:
1. KOORDINATVEKTORER 5 span(u 1, u
Page 11 and 12:
2. MATRICER 7 med reelle tal. Rækk
Page 13 and 14:
2. MATRICER 9 Sætning 2 Givet en m
Page 15 and 16:
2. MATRICER 11 hvor enkeltlinier be
Page 17 and 18:
2. MATRICER 13 2.2 Kædereglen i ma
Page 19 and 20:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 15 3 Lineær
Page 21 and 22:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 17 et fast t
Page 23 and 24:
3. LINEÆRE FUNKTIONER 19 Bevis. La
Page 25 and 26:
4. INVERSE MATRICER 21 Hvis B er b
Page 27 and 28:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 23 et
Page 29 and 30:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 25 Den
Page 31 and 32:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 27 lig
Page 33 and 34:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 29 At
Page 35 and 36:
5. LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 31 4x1
Page 37 and 38:
6. LØSNINGSTEKNIK 33 der indsat i
Page 39 and 40:
6. LØSNINGSTEKNIK 35 ⎡ ⎣ 2 −
Page 41 and 42:
6. LØSNINGSTEKNIK 37 lutter 0’er
Page 43 and 44:
6. LØSNINGSTEKNIK 39 Eksempel 1. V
Page 45 and 46:
6. LØSNINGSTEKNIK 41 Opgaver Opgav
Page 47 and 48:
7. RÆKKEOPERATIONS-MATRICER OG INV
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54: 8. DETERMINANTER 49 2) Hvad er ledn
Page 55 and 56: 8. DETERMINANTER 51 det(I n ) = 1 E
Page 57 and 58: 8. DETERMINANTER 53 nederst”), m
Page 59 and 60: 9. EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 55
Page 69 and 70: 10. DIAGONALISERING 65 Ved en diago
Page 71 and 72: 10. DIAGONALISERING 67 og mere gene
Page 73 and 74: 10. DIAGONALISERING 69 dobbeltrod (
Page 75 and 76: 10. DIAGONALISERING 71 Udregn speci
Page 77 and 78: 11. SKALARPRODUKT I R N 73 s˚a er
Page 79 and 80: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 75 udspæn
Page 81 and 82: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 77 Nævner
Page 83 and 84: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 79 Venstre
Page 85 and 86: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 81 12.1 Mi
Page 87 and 88: 12. ORTOGONAL PROJEKTION 83 Med not
Page 89 and 90: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 91 and 92: 13. ANDRE SÆTNINGER OM SKALARPRODU
Page 93 and 94: 14. LINEÆR DIFFERENTIALLIGNING 89
Page 101 and 102: 15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 103: 15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 9
Page 111 and 112: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 113 and 114: 16. LINEÆRT SYSTEM - N LIGNINGER 1
Page 115 and 116: 17. GENEREL LIGNING 111 Definition
Page 117 and 118: 18. STABILITET 113 Eksempel 3.[Eksp
Page 119 and 120: 18. STABILITET 115 Eksempel 1.[Logi
Page 121 and 122: Index 1. ordens differentialligning
Page 123: INDEX 119 skalarprodukt, 72 span, 4
show all

Lineær Algebra Differentialligninger

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?