Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Lineær Algebra Differentialligninger
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 99<br />
har diagonalmatricen<br />
<br />
λ1 0<br />
Λ =<br />
0 λ2<br />
som koefficientmatrix. e1,e2 er egenvektorer og basis for R 2 . Fra Sætning<br />
23 f˚as den fuldstændige løsning<br />
y1(x) = C1e λ1x , y2(x) = C2e λ2x<br />
P˚a vektorform giver dette<br />
<br />
y1(x) C1e<br />
y(x) = =<br />
y2(x)<br />
λ1x<br />
C2eλ2x <br />
λ1x e<br />
= C1 + C2<br />
0<br />
eller udtrykt ved egenvektorerne<br />
y(x) = C1e λ1x e1 + C2e λ2x e2<br />
<br />
0<br />
eλ2x <br />
Sætning 27 Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x))<br />
samt det homogene lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
= Ay<br />
dx<br />
Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er<br />
løsninger, hvor C er arbitrœr.<br />
Bevis. Gør prøve<br />
y(x) = Ce λx u<br />
dy<br />
dx = Cλeλx u = Ce λx Au = Ay<br />
Det er ofte muligt at finde en konstant løsning. Kombineres dette med Sætning<br />
26 og 27 kan en én parameter mængde af løsninger angives.<br />
Sætning 28 Betragt 2×2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) =<br />
(yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem<br />
dy<br />
= Ay + b<br />
dx<br />
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis yderligere<br />
u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er<br />
løsninger, hvor C er arbitrœr.<br />
y(x) = Ce λx u + v