Lineær Algebra Differentialligninger

15. LINEÆRT SYSTEM - 2 LIGNINGER 99
har diagonalmatricen
λ1 0
Λ =
0 λ2
som koefficientmatrix. e1,e2 er egenvektorer og basis for R 2 . Fra Sætning
23 f˚as den fuldstændige løsning
y1(x) = C1e λ1x , y2(x) = C2e λ2x
P˚a vektorform giver dette
y1(x) C1e
y(x) = =
y2(x)
λ1x
C2eλ2x
λ1x e
= C1 + C2
0
eller udtrykt ved egenvektorerne
y(x) = C1e λ1x e1 + C2e λ2x e2
0
eλ2x
Sætning 27 Betragt 2 × 2-matricen A = (aij) og 2-søjlen y(x) = (yi(x))
samt det homogene lineœre differentialligningssystem
dy
= Ay
dx
Hvis u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er
løsninger, hvor C er arbitrœr.
Bevis. Gør prøve
y(x) = Ce λx u
dy
dx = Cλeλx u = Ce λx Au = Ay
Det er ofte muligt at finde en konstant løsning. Kombineres dette med Sætning
26 og 27 kan en én parameter mængde af løsninger angives.
Sætning 28 Betragt 2×2-matricen A = (aij) og 2-søjlerne b = (bi), y(x) =
(yi(x)) samt det lineœre differentialligningssystem
dy
= Ay + b
dx
En konstant funktion y(x) = v er en løsning, hvis Av = −b. Hvis yderligere
u er en egenvektor for A med egenvœrdi λ, s˚a er
løsninger, hvor C er arbitrœr.
y(x) = Ce λx u + v