Lineær Algebra Differentialligninger

6
De tre vektorer (1, 0, 0), (0, 1, 0) og (0, 0, 1) udspænder alts˚a hele R 3 .
Eksempel 8. Vis at span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) = span((1, 0, 0), (0, 1, 0)). Vi
viser først span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) ⊆ span((1, 0, 0), (0, 1, 0)).
En vektor i span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) er en vektor af form
s(1, 1, 0) + t(1, 0, 0) = (s + t, s, 0) = (s + t)(1, 0, 0) + s(0, 1, 0),
men dette er jo en linearkombination af (1, 0, 0) og (0, 1, 0) (med koefficienter
s + t og t), og er alts˚a en vektor i span((1, 0, 0), (0, 1, 0). Tilsvarende vises
span((1, 1, 0), (1, 0, 0)) ⊇ span((1, 0, 0), (0, 1, 0)); benyt omskrivningen
Opgaver
Opgave 1. Skriv
(s, t, 0) = t(1, 1, 0) + (s − t)(1, 0, 0).
3 · (u + 5v − 10w) + 6 · (u − v) − 10 · (u + v + w)
som linearkombination af u,v og w.
Opgave 2. Skriv vektoren (2,4,5) som linearkombination af vektorerne
(1,1,1),(−2,0,1),(−1,3,5).
(Svaret er ikke entydigt; det kan gøres p˚a mange m˚ader.)
Opgave 3. Vis at vektoren (0,0,1) ikke kan skrives som linearkombination af de
i forrige opgave nævnte vektorer.
Opgave 4. Vis, at hvis vektorerne u og v udspænder et vist vektorrum V , s˚a er
V ogs˚a udspændt af vektorerne u + v og v.
2 Matricer
Matricer er rektangulære talskemaer. Mere præcist, lad m og n være positive
hele tal. En (reel) m×n-matrix er et rektangulært talskema med m “rækker”
og n “søjler” (eller “kolonner”, eller “spalter”); f.eks er en 3×2 matrix det,
der fremkommer ved at udfylde skemaet