Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

12 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER
Sætning 2.10. Lad ξ ∈ Λ og antag, at ξ ± h ∈ Λ. Så gælder
E ξ|h · t(X)| n < ∞ ∀ n ∈ N.
Specielt gælder, at hvis ξ ∈ intΛ, så eksisterer alle momenter af t(X) under P ξ.
Bevis. Da |y| n /n! ≤ ey + e−y for alle y ∈ R, har vi
|h · t(x)| n e ξ·t(x)
ν(dx) ≤ n! e (ξ+h)·t(x)
ν(dx) +
e (ξ−h)·t(x)
ν(dx) < ∞.
Hvis ξ ∈ intΛ, vil ξ ± h ∈ Λ for alle små h. Derfor har vi, at E ξ|t j(X)| n < ∞ for alle
j = 1, . . . , k og alle n. Hölders ulighed giver så, at
E ξ |t1(X) n 1 · · · tk(X) n k| < ∞ for alle n1, . . . , n k. (2.14)
Sætning 2.11. Hvis ξ ∈ int Λ gælder der, at
∂ n c(ξ1, . . . , ξ k)
∂ξ a 1
1 . . . ∂ξa k
k
= c(ξ) E ξ{t1(X) a 1 · · · tk(X) a k}, (2.15)
hvor a1 + · · · + a k = n.
Bevis. Ifølge (2.14) eksisterer momenterne i (2.15). Påstanden i (2.15) kan vises ved
induktion i n: Lad kuglen med centrum i ξog radius ɛ0 være indeholdt i Λ. Antag, at
påstanden holder for alle a1, . . . , ak med a1 + · · · + ak = n og betragt situationen, hvor
vi vil ændre aj til aj + 1. Vi vil benytte, at
|e ɛt
ɛ
j − 1| =
tje ut
jdu ≤ ɛ|tj|(e ɛ0tj −ɛ0t
+ e j) ∀ |ɛ| < ɛ0. (2.16)
Så fås
0
∂ n+1 c(ξ1, . . . , ξ k)
∂ξ a1 1 . . . ∂ξa j+1
j
. . . ∂ξ ak k
= lim 1
∂nc(ξ1, . . . , ξj + ɛ, . . . , ξk) ɛ ∂ξ a1 1 . . . ∂ξa −
k
k
∂nc(ξ1, . . . , ξk) ∂ξ a1 1 . . . ∂ξa
k
k
= lim t1(x) a1 · · · tk(x) ake ξ·t(x) eɛtj(x) − 1
ν(dx)
ɛ
= lim
=
t1(x) a 1 · · · tj(x) a j+1 · · · tk(x) a k eξ·t(x)
c(ξ) ν(dx)c(ξ)
= c(ξ) E ξ{t1(X) a 1 · · · tj(X) a j+1 · · · tk(X) a k},
hvor det andet lighedstegn er induktionsantagelsen, og det tredje lighedstegn følger af
(2.16) og sætningen om domineret konvergens.