Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2.4. LAPLACE- OG KUMULANTTRANSFORM 11<br />
Kumulanttransformen for t(X) under målet ν er defineret som<br />
κ(ξ) = ln c(ξ).<br />
Fra (2.12) har vi at kumulanttransformen af t(X) under ˜P ξ0 er<br />
κ ξ0 (ξ) = κ(ξ + ξ0) − κ(ξ0).<br />
Hvis κP er kumulanttransformen for t(X) under et sandsynlighedsmål P, kaldes de<br />
afledede af κP taget i nul for t(X)s kumulanter. Bemærk, at for kumulanttransformen af<br />
t(X) under ˜P ξ0 har vi<br />
∂kκξ0 ∂<br />
(0) =<br />
∂ξi1 · · · ∂ξik kκ (ξ0)<br />
∂ξi1 · · · ∂ξik Den første og anden kumulant er henholdsvis middelværdi og varians af t(X) under<br />
P, se (2.17) og (2.18) nedenfor. For en en-dimensional variabel t(X) kaldes<br />
κ (3)<br />
P (0)<br />
(κ ′′ ,<br />
P<br />
(0))3/2<br />
for henholdsvis skævheden 1 og kurtosis 2<br />
κ (4)<br />
P (0)<br />
(κ ′′<br />
P<br />
(0))2 ,<br />
Fremover vil jeg skrive P ξ for ˜P ξ, selvom dette kan give forvirring i forhold <strong>til</strong> det<br />
tidligere P θ. Vi lader E ξ betegne middelværdi med hensyn <strong>til</strong> sandsynlighedsmålet P ξ.<br />
Desuden vil Λ blive omtalt som det fulde parameterområde for den <strong>eksponentielle</strong><br />
familie.<br />
Sætning 2.9. Antag at t(·) opfylder (2.5). Det fulde parameterområde Λ = {ξ|c(ξ) <<br />
∞} er konvekst, og κ er strengt konveks på Λ, d.v.s. at κ(αξ1 + (1 − α)ξ2) < ακ(ξ1) +<br />
(1 − α)κ(ξ2) for alle ξ1, ξ2 ∈ Λ, ξ1 = ξ2, og alle 0 < α < 1. <br />
Bevis. Lad ξ1, ξ2 ∈ Λ. Hölders ulighed (JHJ 3.11) giver<br />
<br />
<br />
e (αξ1+(1−α)ξ2)·t(x) ν(dx) = {e ξ1·t(x) α ξ2·t(x) 1−α } {e } ν(dx)<br />
<br />
e ξ α <br />
1·t(x)<br />
ν(dx)<br />
≤<br />
e ξ2·t(x) ν(dx)<br />
1−α<br />
= c(ξ1) α c(ξ2) 1−α < ∞, (2.13)<br />
så at αξ1 + (1 − α)ξ2 ∈ Λ, d.v.s. Λ er konvekst. Tager vi logaritmen i ovenstående<br />
ulighed, fås at κ(ξ) er en konveks funktion. Der gælder lighedstegn i Hölders ulighed,<br />
hvis og kun hvis<br />
e ξ 1·t(x) = Ke ξ2·t(x) n.s. − ν,<br />
for en konstant K, og dette er ensbetydende med, at ξ1 = ξ2 ifølge (2.5). <br />
1Skævheden er det tredje centrale moment divideret med variansen i 3/2. Med betegnelsen µi for<br />
det tte centrale moment altså µ3/µ 3/2<br />
2 .<br />
2 Kurtosis en µ4/µ 2 2 − 3. Der er også en anden version af definitionen af kurtosis, nemlig µ4/µ 2 2 . Det<br />
er den førstnævnte, der passer med udsagnet ovenfor om den fjerdeafledede af kumulantransformen.<br />
Det er ligeledes den førstnævnte version, der er 0 for normalfordelingen.