Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

2.4. LAPLACE- OG KUMULANTTRANSFORM 11
Kumulanttransformen for t(X) under målet ν er defineret som
κ(ξ) = ln c(ξ).
Fra (2.12) har vi at kumulanttransformen af t(X) under ˜P ξ0 er
κ ξ0 (ξ) = κ(ξ + ξ0) − κ(ξ0).
Hvis κP er kumulanttransformen for t(X) under et sandsynlighedsmål P, kaldes de
afledede af κP taget i nul for t(X)s kumulanter. Bemærk, at for kumulanttransformen af
t(X) under ˜P ξ0 har vi
∂kκξ0 ∂
(0) =
∂ξi1 · · · ∂ξik kκ (ξ0)
∂ξi1 · · · ∂ξik Den første og anden kumulant er henholdsvis middelværdi og varians af t(X) under
P, se (2.17) og (2.18) nedenfor. For en en-dimensional variabel t(X) kaldes
κ (3)
P (0)
(κ ′′ ,
P
(0))3/2
for henholdsvis skævheden 1 og kurtosis 2
κ (4)
P (0)
(κ ′′
P
(0))2 ,
Fremover vil jeg skrive P ξ for ˜P ξ, selvom dette kan give forvirring i forhold til det
tidligere P θ. Vi lader E ξ betegne middelværdi med hensyn til sandsynlighedsmålet P ξ.
Desuden vil Λ blive omtalt som det fulde parameterområde for den eksponentielle
familie.
Sætning 2.9. Antag at t(·) opfylder (2.5). Det fulde parameterområde Λ = {ξ|c(ξ) <
∞} er konvekst, og κ er strengt konveks på Λ, d.v.s. at κ(αξ1 + (1 − α)ξ2) < ακ(ξ1) +
(1 − α)κ(ξ2) for alle ξ1, ξ2 ∈ Λ, ξ1 = ξ2, og alle 0 < α < 1.
Bevis. Lad ξ1, ξ2 ∈ Λ. Hölders ulighed (JHJ 3.11) giver
e (αξ1+(1−α)ξ2)·t(x) ν(dx) = {e ξ1·t(x) α ξ2·t(x) 1−α } {e } ν(dx)
e ξ α
1·t(x)
ν(dx)
≤
e ξ2·t(x) ν(dx)
1−α
= c(ξ1) α c(ξ2) 1−α < ∞, (2.13)
så at αξ1 + (1 − α)ξ2 ∈ Λ, d.v.s. Λ er konvekst. Tager vi logaritmen i ovenstående
ulighed, fås at κ(ξ) er en konveks funktion. Der gælder lighedstegn i Hölders ulighed,
hvis og kun hvis
e ξ 1·t(x) = Ke ξ2·t(x) n.s. − ν,
for en konstant K, og dette er ensbetydende med, at ξ1 = ξ2 ifølge (2.5).
1Skævheden er det tredje centrale moment divideret med variansen i 3/2. Med betegnelsen µi for
det tte centrale moment altså µ3/µ 3/2
2 .
2 Kurtosis en µ4/µ 2 2 − 3. Der er også en anden version af definitionen af kurtosis, nemlig µ4/µ 2 2 . Det
er den førstnævnte, der passer med udsagnet ovenfor om den fjerdeafledede af kumulantransformen.
Det er ligeledes den førstnævnte version, der er 0 for normalfordelingen.