Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
10 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER<br />
• Støtten for T er ikke indeholdt i et affint underrum af R k ;<br />
• int Ct = ∅;<br />
• Variansen Var(T) er positiv definit. <br />
Eksempel 2.8 (Binomialfordelingen).<br />
Lad X være binomialfordelt med antalsparamter n og sandsynlighedsparameter θ med<br />
0 < θ < 1. Så er tætheden med hensyn <strong>til</strong> tællemålet µ givet ved<br />
dPθ (x) = (1 − θ)n<br />
dµ<br />
n<br />
x<br />
<br />
exp<br />
<br />
log<br />
θ<br />
1 − θ<br />
Dette er en eksponentiel familie med t(x) = x og ϕ(θ) = log(θ/(1 − θ)). Repræsentationen<br />
er af dimension 1, og vi vil nu vise at den er minimal. Støtten for T er<br />
{0, 1, . . . , n} og denne <strong>til</strong>hører ikke et affint underrum af R, det vil sige at (2.5) er op-<br />
fyldt. Hvis<br />
<br />
θ<br />
c0 + c1 log = 0 ∀0 < θ < 1,<br />
1 − θ<br />
kan vi tage θ = 1/2 hvoraf følger at c0 = 0, og dernæst kan vi tage θ = 1/4 hvoraf<br />
følger at c1 = 0. Det vil sige at (2.4) er opfyldt, og vi har vist at repræsentationen er<br />
minimal. Dette eksempel er meget simpelt: hvis vi har en eksponentiel familie med en<br />
repræsentation af dimension 1, vil repræsentationen altid være minimal så længe at<br />
der er mindst to sandsynlighedsmål i familien (hvis ordenen af familien er nul vil der<br />
kun være et sandsynlighedsmål i familien). <br />
2.4 Laplace- og kumulanttransform<br />
Laplacetransformen for T = t(X) under målet ν er<br />
<br />
<br />
c(ξ) = exp(ξ · t(x))ν(dx) =<br />
Rk exp(ξ · t)νT(dt) (2.10)<br />
X<br />
for ξ ∈ R k . Domænet for c(·) er Λ = {ξ ∈ R k |c(ξ) < ∞}. Lad os definere et sandsynlighedsmål<br />
˜P ξ på X , for ξ ∈ Λ, ved<br />
<br />
x<br />
<br />
.<br />
d ˜P ξ<br />
dν (x) = c(ξ)−1 exp(ξ · t(x)). (2.11)<br />
Så svarer P θ i (2.1) <strong>til</strong> ˜P φ(θ) her og a(θ) = c(φ(θ)) −1 . Klassen P er givet ved<br />
P = { ˜P ξ|ξ ∈ Λ0}, Λ0 = {φ(θ)|θ ∈ Θ}.<br />
Vi har altid at Λ0 ⊆ Λ. Hvis Λ0 = Λ kaldes familien P fuld, og hvis P er fuld og Λ er<br />
åben, kaldes familien regulær.<br />
Laplacetranformen for t(X) under ˜P ξ0 er<br />
<br />
X<br />
<br />
exp(ξ · t(x)) ˜P ξ0 (dx) =<br />
X<br />
exp((ξ + ξ0) · t(x))<br />
ν(dx) =<br />
c(ξ0)<br />
c(ξ + ξ0)<br />
. (2.12)<br />
c(ξ0)