Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

10 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER
• Støtten for T er ikke indeholdt i et affint underrum af R k ;
• int Ct = ∅;
• Variansen Var(T) er positiv definit.
Eksempel 2.8 (Binomialfordelingen).
Lad X være binomialfordelt med antalsparamter n og sandsynlighedsparameter θ med
0 < θ < 1. Så er tætheden med hensyn til tællemålet µ givet ved
dPθ (x) = (1 − θ)n
dµ
n
x
exp
log
θ
1 − θ
Dette er en eksponentiel familie med t(x) = x og ϕ(θ) = log(θ/(1 − θ)). Repræsentationen
er af dimension 1, og vi vil nu vise at den er minimal. Støtten for T er
{0, 1, . . . , n} og denne tilhører ikke et affint underrum af R, det vil sige at (2.5) er op-
fyldt. Hvis
θ
c0 + c1 log = 0 ∀0 < θ < 1,
1 − θ
kan vi tage θ = 1/2 hvoraf følger at c0 = 0, og dernæst kan vi tage θ = 1/4 hvoraf
følger at c1 = 0. Det vil sige at (2.4) er opfyldt, og vi har vist at repræsentationen er
minimal. Dette eksempel er meget simpelt: hvis vi har en eksponentiel familie med en
repræsentation af dimension 1, vil repræsentationen altid være minimal så længe at
der er mindst to sandsynlighedsmål i familien (hvis ordenen af familien er nul vil der
kun være et sandsynlighedsmål i familien).
2.4 Laplace- og kumulanttransform
Laplacetransformen for T = t(X) under målet ν er
c(ξ) = exp(ξ · t(x))ν(dx) =
Rk exp(ξ · t)νT(dt) (2.10)
X
for ξ ∈ R k . Domænet for c(·) er Λ = {ξ ∈ R k |c(ξ) < ∞}. Lad os definere et sandsynlighedsmål
˜P ξ på X , for ξ ∈ Λ, ved
x
.
d ˜P ξ
dν (x) = c(ξ)−1 exp(ξ · t(x)). (2.11)
Så svarer P θ i (2.1) til ˜P φ(θ) her og a(θ) = c(φ(θ)) −1 . Klassen P er givet ved
P = { ˜P ξ|ξ ∈ Λ0}, Λ0 = {φ(θ)|θ ∈ Θ}.
Vi har altid at Λ0 ⊆ Λ. Hvis Λ0 = Λ kaldes familien P fuld, og hvis P er fuld og Λ er
åben, kaldes familien regulær.
Laplacetranformen for t(X) under ˜P ξ0 er
X
exp(ξ · t(x)) ˜P ξ0 (dx) =
X
exp((ξ + ξ0) · t(x))
ν(dx) =
c(ξ0)
c(ξ + ξ0)
. (2.12)
c(ξ0)