Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

2.3. MINIMAL FREMSTILLING OG KONVEKS STØTTE 9
Da (2.7) er antaget minimal, har vi, at m ≤ k. Antag nu, at m < k, så eksisterer der
d ∈ R k , d = 0, så at Bd ∗ = 0. Da A har fuld rang, er c ∗ = Ad ∗ = 0, og (2.8) giver
{t(x) − t(x0)}c ∗ = {u(x) − u(x0)}Bd ∗ = 0 n.s. − P,
hvilket er i modstrid med (ii). Altså er m = k, og (2.1) er en minimal fremstilling.
Jeg vil nu diskutere betingelsen (2.5).
Definition 2.6 Støtten for en stokastisk variabel T, der lever i et metrisk rum, er
{t|P(kugle med centrum t og radius ɛ) > 0, ∀ɛ > 0}.
Specielt hvis T kun kan antage endelig mange værdier, så er støtten de punkter,
hvor der er positiv sandsynlighed. Hvis T ∈ R k siger vi, at koordinaterne i T er affint
uafhængige n.s. hvis støtten for T ikke er indeholdt i et affint underrum af R k . Dette
er ækvivalent med at sige, at der ikke findes c ∈ R k , c = 0, så at c · T er lig med en
konstant n.s. Men dette er netop betingelsen (2.5). Betingelsen er også ækvivalent med
at sige, at variansen af T, Var(T), er positiv definit. Lad os lige eftervise det sidste
udsagn:
c Var(T)c ∗ = 0 ⇐⇒ Var(c · T) = 0
⇐⇒ c · T = konstant n.s. ⇔ c = 0,
hvor den sidste ækvivalens er betingelsen (2.5). Bemærk, at for en eksponentiel familie
P giver Observation 2.2, at støtten for T er den samme uanset hvilket sandsynlighedsmål
P θ ∈ P vi betragter. Tilsvarende, hvis variansen for T er positiv definit under
P θ1 ∈ P, så er variansen positiv definit under alle P θ ∈ P.
Den lukkede konvekse støtte Ct for den eksponentielle familie P defineres som den
mindste lukkede konvekse mængde K ⊂ R k med P θ(t(X) ∈ K) = 1 for alle θ ∈ Θ,
eller ækvivalent hermed {x|t(x) /∈ K} er en P-nulmængde. I symboler kan vi skrive
Ct =
K∈K
K, (2.9)
hvor K er mængden af lukkede og konvekse mængder K med ν({x|t(x) /∈ K}) = 0.
Det indre af Ct betegnes int Ct. Hvis støtten for T er indeholdt i et affint underrum
af R k , vil vi i definitionen af Ct tage snit over mængder, der er indeholdt i et affint
underrum, og vi vil derfor have at int Ct = ∅. Med andre ord vil int Ct = ∅ medføre,
at støtten for T ikke er indeholdt i et affint underrum af R k , og dermed at betingelsen
(2.5) er opfyldt. Omvendt, hvis støtten for T ikke er indeholdt i et affint underrum af
R k kan vi finde k støttepunkter der udspænder R k , og dermed vil int Ct = ∅.
Vi kan samle vores diskussion ovenfor i:
Observation 2.7 Følgende betingelser er ækvivalente:
• Betingelsen (2.5);