Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

8 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER
Bemærkning 2.5 Betingelsen (2.4) er ækvivalent med, at mængden
Λ0 = {ϕ(θ)|θ ∈ Θ}
ikke tilhører et affint underrum af R k .
Vi siger derfor, når (2.5) er opfyldt, at funktionerne φ1, . . . , φ k på Θ er affint uafhængige.
Tilsvarende for (2.5) men med tilføjelse af „næsten sikkert mht. P“.
Bevis. Jeg viser først, at hvis (i) eller (ii) ikke er opfyldt, så er repræsentationen ikke
minimal. Antag at (i) ikke er opfyldt. Der eksisterer altså en vektor c = 0, så at c0 + c ·
φ(θ) = 0 ∀θ ∈ θ. Lad os sige at ck = 0, så har vi, at φk(θ) = −1
c
{c0 + c1φ1(θ) + · · · +
k
ck−1φk−1(θ)}, og vi kan skrive (2.1) som
dP θ
dµ (x) = a(θ)b(x)e−c0t k(x)/c k exp
k−1
∑
1
φ i(θ)[t i(x) − c it k(x)/c k]
D.v.s. at vi har konstrueret en repræsentation af dimension k−1, og (2.1) er derfor ikke
minimal. På helt tilsvarende måde vises, at hvis (ii) ikke er opfyldt, så er (2.1) ikke
minimal.
Vi antager nu, at (i) og (ii) er opfyldt, og skal vise at fremstillingen (2.1) er minimal.
Vi bemærker først, at hvis θ0 ∈ Θ, så har vi fra (2.1) og Observation 2.2, at (se JHJ 3.19)
dPθ dPθ0 = a(θ)
a(θ0) exp[{φ(θ) − φ(θ0)} · t(x)]. (2.6)
Vi betragter nu endvidere en minimal repræsentation af dimension m, med kanonisk
parameter β(θ) og kanonisk observator u(x). Vi har altså
dPθ dPθ0 = ã(θ)
ã(θ0) exp[{β(θ) − β(θ0)} · u(x)], (2.7)
og skal vise at k = m. Fra (i) har vi, at vi kan vælge θ1, . . . , θk, så at k × k matricen
⎛
⎞∗
φ(θ1) − φ(θ0)
⎜
⎟
A = ⎝ . ⎠
φ(θk) − φ(θ0)
har fuld rang. Da (2.6) og (2.7) er tæthed for det samme mål, er de identiske n.s.−P, og
vi har for i = 1, . . . , k,
{φ(θ i) − φ(θ0)} · {t(x) − t(x0)} = {β(θ i) − β(θ0)} · {u(x) − u(x0)} n.s. − P.
Skrevet på matriksform gælder der, at
hvor B er m × k matricen
{t(x) − t(x0)}A = {u(x) − u(x0)}B n.s. − P, (2.8)
B =
⎛
⎜
⎝
β(θ1) − β(θ0)
.
β(θ k) − β(θ0)
⎞
⎟
⎠
∗
.