Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

2.3. MINIMAL FREMSTILLING OG KONVEKS STØTTE 7
2.3 Minimal fremstilling og konveks støtte
Jeg skal i dette afsnit angive en metode til at afgøre, om en fremstilling er minimal, og
skal i denne forbindelse udtrykke mig „næsten sikkert“ mht. et mål. Jeg starter derfor
med følgende observation.
Observation 2.2 Lad ν være målet på X givet ved
dν
(x) = b(x), (2.2)
dµ
hvor b(x) er fra (2.1). Der gælder at alle målene i P er indbyrdes ækvivalente, og at de
er ækvivalente med ν, d.v.s. at alle disse mål har de samme nulmængder.
Bevis. Da
har vi, at
Pθ(A) =
A
a(θ)e φ(θ)·t(x)
b(x)µ(dx) =
A
a(θ)e φ(θ)·t(x) ν(dx),
dP θ
dν (x) = a(θ)eφ(θ)·t(x) . (2.3)
Vi har derfor, at hvis N er en nulmængde for ν er N også en nulmængde for P θ for alle
θ ∈ Θ. Da (2.3) er strengt positiv, gælder der at ν(B) > 0 ⇒ P θ(B) > 0. Hvis derfor N
er en nulmængde for P θ, følger det, at ν(N) = 0.
Jeg vil skrive „næsten sikkert mht. P“ som n.s.−P, og på grund af Observation 2.2
skrive n.s.−P hvormed menes, at den angivne relation er korrekt på nær en af de
fælles nulmængder for P θ og ν.
Bemærkning 2.3 Observation 2.2 viser, at hvis målene i en familie P ikke er ækvivalente,
så kan P ikke være en eksponentiel familie. Et eksempel på dette er familien af
uniforme fordelinger på intervallet [0, θ], θ > 0.
Lemma 2.4 Fremstillingen (2.1) er minimal, hvis og kun hvis (i) og (ii) nedenfor er
opfyldt:
(i) funktionerne 1, φ1, . . . , φ k på Θ er lineært uafhængige, d.v.s.
c0 + c1φ1(θ) + · · · + c kφ k(θ) = 0 ∀θ ∈ Θ ⇒ c0 = c1 = · · · = c k = 0, (2.4)
(ii) funktionerne 1, t1, . . . , t k på X er lineært uafhængige næsten sikker mht. P, d.v.s
c0 + c1t1(x) + · · · + c kt k(x) = 0 n.s. − P ⇒ c0 = c1 = · · · = c k = 0. (2.5)
Inden beviset kommenterer vi betingelserne (2.4) og (2.5).