Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
2.3. MINIMAL FREMSTILLING OG KONVEKS STØTTE 7<br />
2.3 Minimal frems<strong>til</strong>ling og konveks støtte<br />
Jeg skal i dette afsnit angive en metode <strong>til</strong> at afgøre, om en frems<strong>til</strong>ling er minimal, og<br />
skal i denne forbindelse udtrykke mig „næsten sikkert“ mht. et mål. Jeg starter derfor<br />
med følgende observation.<br />
Observation 2.2 Lad ν være målet på X givet ved<br />
dν<br />
(x) = b(x), (2.2)<br />
dµ<br />
hvor b(x) er fra (2.1). Der gælder at alle målene i P er indbyrdes ækvivalente, og at de<br />
er ækvivalente med ν, d.v.s. at alle disse mål har de samme nulmængder. <br />
Bevis. Da<br />
har vi, at<br />
<br />
Pθ(A) =<br />
A<br />
a(θ)e φ(θ)·t(x) <br />
b(x)µ(dx) =<br />
A<br />
a(θ)e φ(θ)·t(x) ν(dx),<br />
dP θ<br />
dν (x) = a(θ)eφ(θ)·t(x) . (2.3)<br />
Vi har derfor, at hvis N er en nulmængde for ν er N også en nulmængde for P θ for alle<br />
θ ∈ Θ. Da (2.3) er strengt positiv, gælder der at ν(B) > 0 ⇒ P θ(B) > 0. Hvis derfor N<br />
er en nulmængde for P θ, følger det, at ν(N) = 0. <br />
Jeg vil skrive „næsten sikkert mht. P“ som n.s.−P, og på grund af Observation 2.2<br />
skrive n.s.−P hvormed menes, at den angivne relation er korrekt på nær en af de<br />
fælles nulmængder for P θ og ν.<br />
Bemærkning 2.3 Observation 2.2 viser, at hvis målene i en familie P ikke er ækvivalente,<br />
så kan P ikke være en eksponentiel familie. Et eksempel på dette er familien af<br />
uniforme fordelinger på intervallet [0, θ], θ > 0. <br />
Lemma 2.4 Frems<strong>til</strong>lingen (2.1) er minimal, hvis og kun hvis (i) og (ii) nedenfor er<br />
opfyldt:<br />
(i) funktionerne 1, φ1, . . . , φ k på Θ er lineært uafhængige, d.v.s.<br />
c0 + c1φ1(θ) + · · · + c kφ k(θ) = 0 ∀θ ∈ Θ ⇒ c0 = c1 = · · · = c k = 0, (2.4)<br />
(ii) funktionerne 1, t1, . . . , t k på X er lineært uafhængige næsten sikker mht. P, d.v.s<br />
c0 + c1t1(x) + · · · + c kt k(x) = 0 n.s. − P ⇒ c0 = c1 = · · · = c k = 0. (2.5)<br />
Inden beviset kommenterer vi betingelserne (2.4) og (2.5).