Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
6 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER<br />
argumentet er en funktion af parameteren ganget med en funktion af data. Det er denne<br />
struktur der nedenfor vil blive brugt i den generelle definition. Bemærk at den første<br />
funktion af parameteren, lad os kalde den a(λ), er en normeringskonstant: eftersom vi<br />
betragter en tæthed, vil denne integrere <strong>til</strong> 1, og dermed har vi<br />
a(λ) ∑ x<br />
2.2 Definition<br />
<br />
1<br />
exp{log(λ)x} = 1 ⇒ a(λ) =<br />
x! ∑<br />
x<br />
1<br />
x! exp{log(λ)x}<br />
−1 .<br />
Jeg vil betragte en klasse P = {Pθ|θ ∈ Θ} af sandsynlighedsmål på målrummet<br />
(X , A, µ), hvor µ er et σ-endeligt mål. Familien P er parametriseret ved θ ∈ Θ, hvor<br />
Θ ⊆ Rp , d.v.s at hvis θ1 = θ2 så vil Pθ1 = Pθ2 . Antag, at µ dominerer alle målene i<br />
P, Pθ ≪ µ ∀θ ∈ Θ, og at der eksisterer en funktion φ = (φ1, . . . , φk) : Θ → Rk , en<br />
målelig funktion t = (t1, . . . , tk) : X → Rk , og en målelig funktion b : X → R således<br />
at<br />
dPθ dµ (x) = a(θ)b(x)eφ(θ)·t(x) , ∀θ ∈ Θ. (2.1)<br />
Hvis (2.1) er opfyldt, kaldes P en eksponentiel familie med kanonisk observator T = t(X)<br />
og kanonisk parameter φ(θ). Bemærk, at i (2.1) er a(·) bestemt ved<br />
<br />
a(θ) = b(x)e φ(θ)·t(x) −1 µ(dx)<br />
og er derfor kun en funktion af θ gennem φ(θ). Det mindste k for hvilket en repræsentation<br />
på formen (2.1) er mulig kaldes ordenen af familien. Hvis repræsentationen er<br />
minimal, d.v.s. at k er ordenen af familien, kaldes T en minimal kanonisk observator og<br />
ϕ en minimal kanonisk parameter.<br />
Eksempel 2.1.<br />
Jeg opskriver her to af de fordelinger I kender i forvejen på eksponentiel familieform.<br />
Binomialfordelingen. Lad X være binomialfordelt med antalsparamter n og sandsynlighedsparameter<br />
θ med 0 < θ < 1. Så er tætheden med hensyn <strong>til</strong> tællemålet µ<br />
givet ved<br />
dPθ (x) =<br />
dµ<br />
for x ∈ {0, . . . , n}.<br />
n<br />
x<br />
<br />
θ x (1 − θ) n−x = (1 − θ) n<br />
n<br />
x<br />
<br />
<br />
θ<br />
exp log x ,<br />
1 − θ<br />
Normalfordelingen. Lad X være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2<br />
med (µ, σ 2 ) ∈ R × R+. Så er tætheden med hensyn <strong>til</strong> lebesguemålet m givet ved<br />
dP (µ,σ 2 )<br />
dm<br />
(x) = exp{− 1<br />
2σ 2 (x − µ) 2 }<br />
√ 2πσ 2<br />
= exp{− µ2<br />
2σ 2 }<br />
√ 2πσ 2<br />
<br />
µ<br />
exp<br />
σ<br />
2σ<br />
1<br />
x − x2<br />
2 2<br />
for x ∈ R. Bemærk, at i dette eksempel er b(x) = 1. <br />
<br />
,