Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

11.6. ENTYDIGHED AF LAPLACETRANSFORMEN 139
Vi tager nu A = 1( f − g > 0). Så fås
1
( f − g)dµ = 0 ⇒ ( f − g)dµ = 0 ⇒ dµ = 0,
A
A ( f − g) A
dvs A er en µ-nulmængde. På tilsvarende vis ses at mængden hvor f − g < 0 er
en µ-nulmængde.
11.6 Entydighed af Laplacetransformen
Lad µ1 og µ2 være sandsynlighedsmål på R k med laplacetransformer
ϕ1(θ) =
exp(θ · x)µ1(dx) og ϕ2(θ) =
exp(θ · x)µ2(dx).
Hvis der eksisterer en åben mængde D ⊂ R k således at ϕ1 og ϕ2 begge er endelige på
D og
ϕ1(θ) = ϕ2(θ), θ ∈ D,
så er de to mål ens, µ1 = µ2.
Beviset baserer sig på at antagelsen medfører at
exp((θ + iv) · x)µ1(dx) =
exp((θ + iv) · x)µ2(dx), θ ∈ D, v ∈ R k .
For fast θ er dette karakteristiske funktioner i v, og vi kan derfor bruge entydighedssætningen
for karakteristiske funktioner.