Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

138 KAPITEL 11. NOTATION OG REGNEREGLER
I det andet lighedstegn har vi brugt regneregelen (11.1) ovenfor, og i det næstsidste
lighedstegn har vi brugt en regneregel i afsnit 11.5.
Bevis (for Observation 2.25). Definer
f (x|t) =
f (x)
g(t)
t ∈ D
1 t /∈ D, og F(A|t) =
A f (x|t)PT (dx|t).
Vi vil vise at F(A|t) er en regulær betinget sandsynlighed for Q givet T. Undervejs
bruger vi at QT(D c ) = 0.
B
F(A|t)QT(dt) =
=
=
F(A|t) dQT
(t)PT(dt)
dPT
f (x|t)P
A
T
(dx|t)
g(t)PT(dt)
1B∩D(t) f (x)P T
(dx|t) PT(dt)
B∩D
B∩D
A
= EP {1B∩D(t(X))1A(X) f (X)}
= 1B∩D(t(x))1A(x) dQ
(x)P(dx) = 1B∩D(t(x))1A(x)Q(dx)
dP
= Q(A ∩ u −1 (B ∩ D)) = Q(A ∩ u −1 (B)),
som netop er definitionen på at F(A|t) er en regulær betinget sandsynlighed for Q
givet T. Jeg har brugt regneregelen (11.1) ovenfor i 4. lighedstegn og regneregel fra
afsnit 11.5 i næstsidste lighedstegn.
11.5 Regnereler for tætheder og integraler
1) µ ≪ ν ⇒ f (x)dµ(x) = f (x) dµ
dν (x)dν(x). (JHJ 3.17)
2) µ ≪ ν