Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
11.4. BETINGEDE TÆTHEDER 137<br />
Den regulære betingede sandsynlighed af (X, Y) givet Y i Definition 3.1 bliver i dette<br />
<strong>til</strong>fælde<br />
P Y <br />
(A|y) = f (x|y)dx.<br />
x:(x,y)∈A<br />
Bevis. Vi skal eftervise (iii) i Definition 3.1. Lad B være en Borelmængde i Rl og A en<br />
Borelmængde i Rk+l . Så gælder der<br />
<br />
<br />
<br />
f (x|y)dx g(y)dy<br />
P<br />
B<br />
Y (A|y)PY(dy) =<br />
B<br />
<br />
=<br />
<br />
=<br />
B<br />
x:(x,y)∈A<br />
x:(x,y)∈A<br />
A∩R k ×B<br />
f (x, y)dxdy<br />
f (x, y)dxdy = P(A ∩ {Y ∈ B}). <br />
Følgende regneregel (JHJ 10.3) for betingede sandsynligheder er meget brugbar. For<br />
en regulær betinget sandsynlighed PT (A|t) og vilkårlige målelige funktioner f : X →<br />
R, g : Y →R har vi ligheden<br />
<br />
g(t) f (x)P T <br />
(dx|t) dPT(t) = g(t(x)) f (x)P(dx) = E{g(t(X)) f (X)}. (11.1)<br />
Dette er en special<strong>udgave</strong> af hvad JHJ kalder “useful rules". Andre <strong>udgave</strong>r er<br />
<br />
<br />
ψ(x, t)P T (dx|t), (11.2)<br />
og<br />
ψ(x, t(x))P T (dx|t) =<br />
<br />
E(ψ(X, T) =<br />
Endvidere gælder der følgende rimelige resultat<br />
ψ(x, t)P T (dx|t)PT(dt). (11.3)<br />
P T (T = t|t) = 1 n.s. PT,<br />
såfremt at mængden {(x, t(x)|x ∈ X } <strong>til</strong>hører produkt σ-algebraen A ⊗ B.<br />
Nu følger bevis for Observationerne 2.24 og 2.25.<br />
Bevis (for Obsevation 2.24 (JHJ 10.11)). Lad u være en afbildning fra det basale udfaldsrum<br />
(X , A) ind i (Y, B). Definer<br />
g(u) = EP( dQ<br />
<br />
dQ<br />
(X)|U = u) =<br />
dP dP (x)PU (dx|u).<br />
Vi skal vise at g(u) er tætheden for QU mht PU. Lad B ∈ B. Så får vi<br />
<br />
<br />
dQ<br />
g(u)dPU(u) = 1B(u)<br />
B<br />
dP (x)PU <br />
(dx|u) dPU(u)<br />
<br />
= EP 1B(u(X)) dQ<br />
dP (X)<br />
<br />
<br />
= 1B(u(x)) dQ<br />
<br />
(x)dP(x) = 1B(u(x))dQ(x)<br />
dP<br />
= QU(B).