Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

11.4. BETINGEDE TÆTHEDER 137
Den regulære betingede sandsynlighed af (X, Y) givet Y i Definition 3.1 bliver i dette
tilfælde
P Y
(A|y) = f (x|y)dx.
x:(x,y)∈A
Bevis. Vi skal eftervise (iii) i Definition 3.1. Lad B være en Borelmængde i Rl og A en
Borelmængde i Rk+l . Så gælder der
f (x|y)dx g(y)dy
P
B
Y (A|y)PY(dy) =
B
=
=
B
x:(x,y)∈A
x:(x,y)∈A
A∩R k ×B
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy = P(A ∩ {Y ∈ B}).
Følgende regneregel (JHJ 10.3) for betingede sandsynligheder er meget brugbar. For
en regulær betinget sandsynlighed PT (A|t) og vilkårlige målelige funktioner f : X →
R, g : Y →R har vi ligheden
g(t) f (x)P T
(dx|t) dPT(t) = g(t(x)) f (x)P(dx) = E{g(t(X)) f (X)}. (11.1)
Dette er en specialudgave af hvad JHJ kalder “useful rules". Andre udgaver er
ψ(x, t)P T (dx|t), (11.2)
og
ψ(x, t(x))P T (dx|t) =
E(ψ(X, T) =
Endvidere gælder der følgende rimelige resultat
ψ(x, t)P T (dx|t)PT(dt). (11.3)
P T (T = t|t) = 1 n.s. PT,
såfremt at mængden {(x, t(x)|x ∈ X } tilhører produkt σ-algebraen A ⊗ B.
Nu følger bevis for Observationerne 2.24 og 2.25.
Bevis (for Obsevation 2.24 (JHJ 10.11)). Lad u være en afbildning fra det basale udfaldsrum
(X , A) ind i (Y, B). Definer
g(u) = EP( dQ
dQ
(X)|U = u) =
dP dP (x)PU (dx|u).
Vi skal vise at g(u) er tætheden for QU mht PU. Lad B ∈ B. Så får vi
dQ
g(u)dPU(u) = 1B(u)
B
dP (x)PU
(dx|u) dPU(u)
= EP 1B(u(X)) dQ
dP (X)
= 1B(u(x)) dQ
(x)dP(x) = 1B(u(x))dQ(x)
dP
= QU(B).