Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
136 KAPITEL 11. NOTATION OG REGNEREGLER<br />
i = 1, . . . , m, og at P(X ∈ ∪ iB i) = 1. Så gælder der<br />
g(y) = ∑<br />
x:h(x)=y<br />
f (x)J(x) −1 .<br />
Hvis h er en entydig afbildning på Rk , så at m = 1, får vi den mere velkendte formel<br />
g(y) = f (x)J(x) −1 <br />
= f h −1 <br />
(y) J h −1 −1 (y) .<br />
11.3 Betinget middelværdi<br />
Lad det basale udfaldsrum være X med sigma-algebra A. Lad (Y, B) være et andet<br />
målrum, og lad T = t(X) med t : X → Y en målelig afbildning. Den betingede<br />
middelværdi E( f (X)|T), hvor f : X → R er en målelig afbildning, er en stokastisk<br />
variabel, altså en funktion på X , E(X|Y) = E(X|Y)(x), som er σ(T)-målelig og som<br />
opfylder at E(1B(T)E( f (X)|T)) = E(1B(t(X)) f (X)) for alle B ∈ B. Da E( f (X)|T) er<br />
σ(T)-målelig eksisterer der ifølge JHJ 6.4 en funktion ϕ : Y → R så at<br />
E( f (X)|T)(x) = ϕ(t(x))).<br />
Vi betegner ϕ(t) med E( f (X)|t = t). Bemærk at E( f (X)|T = t) kun er bestemt op <strong>til</strong><br />
en PT nulmængde.<br />
Hvis PT (·, ·) er en regulær betinget sandsynlighed givet T, så gælder der (se (11.1))<br />
<br />
f (x)P T (dx|t)<br />
X<br />
er en betinget middelværdi givet T. Med andre ord: en <strong>udgave</strong> af E( f (X)|t = t) er<br />
givet ved<br />
<br />
E( f (X)|t = t) = f (x)P T (dx|t).<br />
Dette læses som at den betingede middelværdi er middelværdien i den betingede fordeling.<br />
Jeg minder om at vi har regnereglen<br />
E( f (X, T)|T = t) = E( f (X, t)|T = t),<br />
hvilket læses på den måde at højresiden er en version af venstresiden. Bemærk at vi<br />
fra diskussionen <strong>til</strong>sidst i afsnit 3.1 har at<br />
<br />
f (x, t(x))P T <br />
(dx|t) = f (x, t)P T (dx|t)<br />
hvis Y er et metrisk rum med en tællelig taet delmængde og B er Borel sigma-algebraen.<br />
11.4 Betingede tætheder<br />
Vi gennemgår her et special<strong>til</strong>fæde af opgave 3.3. Lad (X, Y) have simultan tæthed<br />
f (x, y) på R k+l og lad Y have marginal tæthed g(y), begge med hensyn <strong>til</strong> Lebesguemålet.<br />
Så er den betingede tæthed af X givet Y = y<br />
f (x|y) =<br />
X<br />
f (x, y)<br />
g(y) .