Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

136 KAPITEL 11. NOTATION OG REGNEREGLER
i = 1, . . . , m, og at P(X ∈ ∪ iB i) = 1. Så gælder der
g(y) = ∑
x:h(x)=y
f (x)J(x) −1 .
Hvis h er en entydig afbildning på Rk , så at m = 1, får vi den mere velkendte formel
g(y) = f (x)J(x) −1
= f h −1
(y) J h −1 −1 (y) .
11.3 Betinget middelværdi
Lad det basale udfaldsrum være X med sigma-algebra A. Lad (Y, B) være et andet
målrum, og lad T = t(X) med t : X → Y en målelig afbildning. Den betingede
middelværdi E( f (X)|T), hvor f : X → R er en målelig afbildning, er en stokastisk
variabel, altså en funktion på X , E(X|Y) = E(X|Y)(x), som er σ(T)-målelig og som
opfylder at E(1B(T)E( f (X)|T)) = E(1B(t(X)) f (X)) for alle B ∈ B. Da E( f (X)|T) er
σ(T)-målelig eksisterer der ifølge JHJ 6.4 en funktion ϕ : Y → R så at
E( f (X)|T)(x) = ϕ(t(x))).
Vi betegner ϕ(t) med E( f (X)|t = t). Bemærk at E( f (X)|T = t) kun er bestemt op til
en PT nulmængde.
Hvis PT (·, ·) er en regulær betinget sandsynlighed givet T, så gælder der (se (11.1))
f (x)P T (dx|t)
X
er en betinget middelværdi givet T. Med andre ord: en udgave af E( f (X)|t = t) er
givet ved
E( f (X)|t = t) = f (x)P T (dx|t).
Dette læses som at den betingede middelværdi er middelværdien i den betingede fordeling.
Jeg minder om at vi har regnereglen
E( f (X, T)|T = t) = E( f (X, t)|T = t),
hvilket læses på den måde at højresiden er en version af venstresiden. Bemærk at vi
fra diskussionen tilsidst i afsnit 3.1 har at
f (x, t(x))P T
(dx|t) = f (x, t)P T (dx|t)
hvis Y er et metrisk rum med en tællelig taet delmængde og B er Borel sigma-algebraen.
11.4 Betingede tætheder
Vi gennemgår her et specialtilfæde af opgave 3.3. Lad (X, Y) have simultan tæthed
f (x, y) på R k+l og lad Y have marginal tæthed g(y), begge med hensyn til Lebesguemålet.
Så er den betingede tæthed af X givet Y = y
f (x|y) =
X
f (x, y)
g(y) .