Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

Kapitel 11
Notation og regneregler
Dette kapitel er tænkt som et opslagssted, for det meste med resultater i kender fra
tidligere kurser. I kan selv fylde på når i undervejs støder på nyttige formler.
11.1 notation
Det basale udfaldsrum hedder ofte X , og X er den stokastiske variabel svarende til
identitetsafbildningen på X .
Alle vektorer er rækkevektorer, og den transponerede vektor x ∗ er derfor en søjlevektor.
Hvis f er en afbildning fra R m ind i R k er
og
∂ f
(x) =
∂x∗ ∂ f ∗
(x) =
∂x
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
∂ f 1
∂x 1 (x) · · ·
∂ f 1
∂xm
.
(x) · · ·
∂ f 1
∂x 1 (x) · · ·
.
∂ f k
∂x 1 (x) · · ·
11.2 Transformationssætningen
∂ f k
∂x 1 (x)
.
∂ f k
∂xm (x)
∂ f 1
∂xm (x)
.
∂ f k
∂xm (x)
Lad X være en stokastisk variabel i Rk med tæthed f (·) m.h.t. Lebesguemålet, og lad
h(·) være en afbildning fra Rk ind i Rk . Vi definere Y = h(X) og ønsker at finde tætheden
g(·) for Y. Lad
J(x) =
∂h
∗
∂x (x)
,
hvor | · | er absolutværdien af determinanten. Antag at der eksisterer åbne disjunkte
mængder B1, . . . , Bm så at h er en entydig afbildning med J(x) > 0 på hver af B i,
135
⎞
⎟
⎠ ,
⎞
⎟
⎠ .