Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

More documents

Recommendations

Info

2.8. OPGAVER 23 3) Vis, at dette er en fuld eksponentiel familie. Opgave 2.8 Antag, at X−1 og X1 er uafhængige og Poissonfordelte med middelværdi λ i = 1 2 eα+iβ , i = −1 og 1. Lad P = {P (α,β) : (α, β) ∈ R 2 } betegne klassen af fordelinger for X = (X−1, X1). 1) Vis, at P er en regulær eksponentiel familie af orden 2. 2) Angiv definitionsområdet D for maximum likelihood estimatoren (ˆα, ˆβ) og vis, at hvis x ∈ D, så er ˆα(x) = ln 2 X−1X1 og ˆβ(x) = ln X1 X−1 3) Vis, at informationsfunktionen svarende <strong>til</strong> observationen (x−1, x1) er 4) Lad j(α, β) = e α cosh(β) e α sinh(β) e α sinh(β) e α cosh(β) . . τ = e α cosh(β) (= E (α,β)(X−1 + X1)). Vis, at P kan parametriseres ved (τ, β) samt at variationsområdet for (τ, β) er (0, ∞) × (−∞, ∞). Opgave 2.9 (Den logaritmiske fordeling) Definer sandsynlighedsmålet Pθ, 0 < θ < 1, på X = {1, 2, . . .} ved dPθ θx (x) = (− log(1 − θ))−1 d♯ x , hvor ♯ er tællemålet. Opskriv familien på eksponentiel familieform. Angiv støtten for den kanoniske observator T, den konvekse støtte Ct, samt variationsområdet Λ0 for den kanoniske parameter og det fulde parameterområde Λ. Udregn desuden middelværdi og varians for den kanoniske observator. Opgave 2.10 (Den negative binomialfordeling) Definer sandsynlighedsmålet P θ, 0 < θ < 1, på X = {0, 1, 2, . . .} ved dPθ κ + x − 1 (x) = d♯ x θ x (1 − θ) κ , hvor ♯ er tællemålet og κ > 0 er en fast parameter. Opskriv familien på eksponentiel familieform. Angiv støtten for den kanoniske observator T, den konvekse støtte Ct, samt variationsområdet Λ0 for den kanoniske parameter og det fulde parameterområde Λ. Udregn desuden middelværdi og varians for den kanoniske observator.
24 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER Opgave 2.11 (Den inverse gauss fordeling) Definer sandsynlighedsmålet P (χ,ψ), (χ, ψ) ∈ R 2 + , på X = R+ ved dP (χ, ψ) (x) = dm √ χ exp( √ χψ) √ 2πx 3 exp − χ 2x ψx − , 2 hvor m er lebesguemålet. Opskriv familien på eksponentiel familieform. Angiv støtten for den kanoniske observator T, den konvekse støtte Ct, samt variationsområdet Λ0 for den kanoniske parameter og det fulde parameterområde Λ. Udregn desuden middelværdi og varians for den kanoniske observator.
Page 1 and 2: E T F Ø R S T E K U R S U S I T E
Page 3 and 4: 6 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIE
Page 5 and 6: 8 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIE
Page 7 and 8: 10 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILI
Page 19: 22 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILI
Page 23 and 24: 136 KAPITEL 11. NOTATION OG REGNERE
Page 25 and 26: 138 KAPITEL 11. NOTATION OG REGNERE
Page 28 and 29: Indeks A Affin uafhængighed . . .

Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?