Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

2.8. OPGAVER 23
3) Vis, at dette er en fuld eksponentiel familie.
Opgave 2.8 Antag, at X−1 og X1 er uafhængige og Poissonfordelte med middelværdi
λ i = 1 2 eα+iβ , i = −1 og 1.
Lad P = {P (α,β) : (α, β) ∈ R 2 } betegne klassen af fordelinger for X = (X−1, X1).
1) Vis, at P er en regulær eksponentiel familie af orden 2.
2) Angiv definitionsområdet D for maximum likelihood estimatoren (ˆα, ˆβ) og vis,
at hvis x ∈ D, så er
ˆα(x) = ln 2
X−1X1
og
ˆβ(x) = ln
X1
X−1
3) Vis, at informationsfunktionen svarende til observationen (x−1, x1) er
4) Lad
j(α, β) =
e α cosh(β) e α sinh(β)
e α sinh(β) e α cosh(β)
.
.
τ = e α cosh(β) (= E (α,β)(X−1 + X1)).
Vis, at P kan parametriseres ved (τ, β) samt at variationsområdet for (τ, β) er
(0, ∞) × (−∞, ∞).
Opgave 2.9 (Den logaritmiske fordeling) Definer sandsynlighedsmålet Pθ, 0 < θ < 1, på
X = {1, 2, . . .} ved
dPθ θx
(x) = (− log(1 − θ))−1
d♯ x ,
hvor ♯ er tællemålet. Opskriv familien på eksponentiel familieform. Angiv støtten for
den kanoniske observator T, den konvekse støtte Ct, samt variationsområdet Λ0 for
den kanoniske parameter og det fulde parameterområde Λ. Udregn desuden middelværdi
og varians for den kanoniske observator.
Opgave 2.10 (Den negative binomialfordeling) Definer sandsynlighedsmålet P θ, 0 < θ <
1, på X = {0, 1, 2, . . .} ved
dPθ κ + x − 1
(x) =
d♯ x
θ x (1 − θ) κ ,
hvor ♯ er tællemålet og κ > 0 er en fast parameter. Opskriv familien på eksponentiel familieform.
Angiv støtten for den kanoniske observator T, den konvekse støtte Ct, samt
variationsområdet Λ0 for den kanoniske parameter og det fulde parameterområde Λ.
Udregn desuden middelværdi og varians for den kanoniske observator.