Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
2.8. OPGAVER 23<br />
3) Vis, at dette er en fuld eksponentiel familie.<br />
Opgave 2.8 Antag, at X−1 og X1 er uafhængige og Poissonfordelte med middelværdi<br />
λ i = 1 2 eα+iβ , i = −1 og 1.<br />
Lad P = {P (α,β) : (α, β) ∈ R 2 } betegne klassen af fordelinger for X = (X−1, X1).<br />
1) Vis, at P er en regulær eksponentiel familie af orden 2.<br />
2) Angiv definitionsområdet D for maximum likelihood estimatoren (ˆα, ˆβ) og vis,<br />
at hvis x ∈ D, så er<br />
<br />
ˆα(x) = ln 2 <br />
X−1X1<br />
og<br />
ˆβ(x) = ln<br />
<br />
X1<br />
X−1<br />
3) Vis, at informationsfunktionen svarende <strong>til</strong> observationen (x−1, x1) er<br />
4) Lad<br />
j(α, β) =<br />
<br />
e α cosh(β) e α sinh(β)<br />
e α sinh(β) e α cosh(β)<br />
.<br />
<br />
.<br />
τ = e α cosh(β) (= E (α,β)(X−1 + X1)).<br />
Vis, at P kan parametriseres ved (τ, β) samt at variationsområdet for (τ, β) er<br />
(0, ∞) × (−∞, ∞).<br />
Opgave 2.9 (Den logaritmiske fordeling) Definer sandsynlighedsmålet Pθ, 0 < θ < 1, på<br />
X = {1, 2, . . .} ved<br />
dPθ θx<br />
(x) = (− log(1 − θ))−1<br />
d♯ x ,<br />
hvor ♯ er tællemålet. Opskriv familien på eksponentiel familieform. Angiv støtten for<br />
den kanoniske observator T, den konvekse støtte Ct, samt variationsområdet Λ0 for<br />
den kanoniske parameter og det fulde parameterområde Λ. Udregn desuden middelværdi<br />
og varians for den kanoniske observator.<br />
Opgave 2.10 (Den negative binomialfordeling) Definer sandsynlighedsmålet P θ, 0 < θ <<br />
1, på X = {0, 1, 2, . . .} ved<br />
<br />
dPθ κ + x − 1<br />
(x) =<br />
d♯ x<br />
<br />
θ x (1 − θ) κ ,<br />
hvor ♯ er tællemålet og κ > 0 er en fast parameter. Opskriv familien på eksponentiel familieform.<br />
Angiv støtten for den kanoniske observator T, den konvekse støtte Ct, samt<br />
variationsområdet Λ0 for den kanoniske parameter og det fulde parameterområde Λ.<br />
Udregn desuden middelværdi og varians for den kanoniske observator.