Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

Kapitel 2
Eksponentielle familier
2.1 Motivation
Eksponentielle familier er klasser af sandsynlighedsmål med „særligt pæne egenskaber“.
Det smarte er, at når først vi har vist (og det er ikke svært), at noget er en eksponentiel
familie, så ved vi, at en hel masse resultater er opfyldt. Lad os som et eksempel
betragte n uafhængige variable X1, . . . , Xn som er normalfordelte med middelværdi µ
og varians σ 2 . Hvis f (·) er en funktion fra R ind i R med den egenskab, at
E µ,σ 2 f ( ¯X) = 0 for alle µ ∈ R,
så kan vi slutte, at f er identisk lig med nul pånær på en nulmængde. Denne egenskab
kan måske nok synes lidt teknisk, men den kan hjælpe os til at vise andre egenskaber.
Det sædvanlige estimat for σ 2 er s 2 = ∑i(X i − ¯X) 2 /(n − 1). Dette estimat har den rigtige
middelværdi: Es 2 = σ 2 , og vi siger, at s 2 er middelværdiret. Man kan nu vise, at s 2
er det estimat, der har mindst mulig varians, blandt alle estimater der er middelværdirette.
For eksponentielle familier kan vi vise, at for visse hypoteser er der særligt attraktive
tests. I eksemplet ovenfor kan vi betragte et test for hypotesen µ = 0 mod alternativet
µ > 0. Det sædvanlige t-test forkaster hypotesen hvis t = ¯X/ √ s 2 /n er stor, og vi
kan vise at dette i en vis forstand er det bedste vi kan gøre.
De ovenstående eksempler viser, at der er god grund til at beskæftige sig med eksponentielle
familier. Et andet argument er, at nogle af de vigtigste klasser af fordelinger
faktisk er eksponentielle familier: Binomialfordelingerne, Poissonfordelingerne,
normalfordelingerne og Gammafordelingerne. Ydermere er disse fordelinger byggestene
for det der hedder Generaliserede Lineære Modeller som er et vigtigt redskab i
en statistikers værktøjskasse.
Definitionen på en eksponentiel familie vedrører hvordan data og parameter spiller
sammen. Lad som et eksempel P λ være poissonfordelingen med parameter λ og lad µ
være tællemålet. Så kan vi skrive tætheden som
dPλ λx
(x) =
dµ x! e−λ = e −λ · 1
x!
· exp{log(λ)x}.
Hvad jeg har fremhævet her, er at tætheden kan skrives som en funktion af parameteren,
ganget med en funktion af data, ganget med en eksponentialfunktion, hvor
5