Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

22 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER
Vink: Lad (α0, . . . , α k) = 0. Så findes x0 ∈ X , så at α0 + α1t1(x0) + · · · + α kt k(x0) = 0.
Overvej, at
{x ∈ X |α0 + α1t1(x) + · · · + α kt k(x) = 0}
er en åben og ikke-tom mængde, og dermed har positivt µ-mål.
Opgave 2.5 Denne opgave viser, at den minimal kanoniske observator kan være komplet,
selv om det indre af det kanoniske paramterområde er tomt.
Lad X og Y være uafhængige og Poissonfordelte med EX = θ −1 og EY = exp(−θ),
hvor parameteren θ varierer i R+. Vis, at dette er en eksponentiel familie af orden 2
med kanonisk observator t(x, y) = (x, y) og kanonisk parameter (− ln θ, −θ). Vis, ved
direkte undersøgelser, at (X, Y) er komplet.
Vink: Hvis E θ f (X, Y) = 0 for alle θ, vis da først at f (0, 0) = 0 ved at lade θ → ∞,
dernæst f (k, 0) = 0 for alle k > 0, og endelig at f (k, l) = 0 for alle k > 0 og l > 0.
Opgave 2.6 Betragt en eksponentiel familie på minimal form
dP θ
dµ (x) = a(θ)b(x)eϕ(θ)·t(x) ,
hvor ϕ : Θ → R k og Θ er et åbent område i R k . Vis at
og
E θt(X) = τ(ϕ(θ)) =
V θt(X) =
∂(− ln a(θ))
∂θ
∂ϕ ∗
∂ϕ
∂θ∗ −1 ∂Eθt(X)
∂θ∗ .
Opgave 2.7 Lad (X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, Yn) være n uafhængige observationer fra
den todimensionale normalfordeling med middelværdivektor (0, 0) og variansmatrix
1 ρ
ρ 1
∂θ
−1
hvor korrelationskoefficienten ρ har intervallet (−1, 1) som variationsområde.
1) Vis at den således fastlagte familie af fordelinger for samplet (X1, Y1), . . . , (Xn, Yn)
er eksponentiel, bestem ordenen af denne eksponentielle familie, og angiv en
minimal kanonisk observator og en minimal kanonisk parameter. Er familien
fuld?
2) Opstil likelihoodligningen for ρ.
Lad nu (X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, Yn) være n uafhængige observationer fra den todimensionale
normalfordeling med middelværdivektor (0, 0) og variansmatrix
σ2 ρσ2
ρσ 2 σ 2
hvor korrelationskoefficienten ρ har intervallet (−1, 1) som variationsområde og σ 2 >
0.