Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

2.8. OPGAVER 21
så vil der gælde, at f (0) = f (1) = · · · = f (n) = 0. Lad os vise dette direkte. Vi har
altså, at
θ x (1 − θ) n−x = 0
n
n
∑ f (x)
x
x=0
for alle θ. Lader vi nu θ → 0, forsvinder alle led i summen pånær det første, som bliver
f (0). Vi kan altså slutte, at f (0) = 0. Vi dividerer nu ligningen ovenfor med θ og lader
igen θ → 0. Dette giver os, at f (1) = 0, og sådan fortsætter vi, indtil vi har vist, at f er
identisk nul.
2.8 Opgaver
Opgave 2.1 Opskriv hver af familierne nedenfor på eksponentiel familieform. Angiv
støtten for den kanoniske observator T, den konvekse støtte Ct, samt variationsområdet
Λ0 for den kanoniske parameter og det fulde parameterområde Λ. Udregn desuden
middelværdi og varians for den kanoniske observator.
a) Binomialfordelingerne med antalsparameter n fast og sandsynlighedsparameter
0 < θ < 1.
b) Poissonfordelingerne med parameter λ > 0. Find i dette tilfælde også skævhed
og kurtosis af en poissonfordelt variabel.
c) Normalfordelingerne med middelværdi µ og varians σ 2 med (µ, σ 2 ) ∈ R × R+.
d) Gammafordelingerne med formparameter λ og invers skalaparameter β med
(λ, β) ∈ R 2 + .
Opgave 2.2 Find det fulde parameterområde Λ for den eksponentielle familie med
tætheder
dP ξ
dm (x) = a(ξ)b(x)eξx , x ∈ R,
i tilfældene
Her er m Lebesguemålet på R.
(i) b(x) = e −|x| og (ii) b(x) = e−|x|
.
1 + x2 Opgave 2.3 Betragt en eksponentiel familie på formen (2.1) med t(x) ∈ R k . Vis, at hvis
støtten for T er begrænset, og familien er ikke tom, så er det fulde parameterområde Λ
lig med R k .
Opgave 2.4 Denne opgave er en hjælp til jer, når I skal vise affin uafhængighed næsten
sikkert.
Lad (X , A, µ) være et metrisk målrum, hvor målet µ giver strengt positivt mål til
enhver åben kugle. Lad desuden t1, . . . , t k være kontinuerte funktioner fra X ind i R.
Vis, at hvis t1(·), . . . , t k(·) er affint uafhængige som funktioner på X , så er de også
affint uafhængige næsten sikkert med hensyn til µ.