Noter til eksponentielle familier. Anden udgave. Version 9.2.2006.

20 KAPITEL 2. EKSPONENTIELLE FAMILIER
Observation 2.30 Hvis T er komplet, så er T også begrænset komplet.
Observation 2.31 Hvis T er komplet, så er også ˜T = g(T) komplet, hvor g er en målelig
afbildning fra Y til ˜Y.
Bevis. Antag, at EP f ( ˜T) = EP f (g(T)) = 0 for alle P ∈ P. Heraf følger, at f (g(t(x))) =
f (˜t(x)) = 0 n.s.-P for alle P ∈ P.
Sætning 2.32. Lad P = {P ξ|ξ ∈ Λ0} være en eksponentiel familie på minimal form
dP ξ
dµ (x) = a(ξ)b(x)eξ·t(x) , x ∈ X , ξ ∈ Λ0 ⊆ R k .
Vi antager ikke her, at Λ0 er det fulde parameter område. Hvis intΛ0 = ∅, er T = t(X)
komplet under P = {P ξ|ξ ∈ Λ0}.
Bevis. Lad ξ0 ∈ Λ0 og lad f : R k → R opfylde
0 =
a(ξ)b(x)e ξ·t(x) f (t(x))µ(dx) = a(ξ)
a(ξ0)
e (ξ−ξ0)·t(x)
f (t(x))Pξ0 (dx), (2.25)
for alle ξ ∈ Λ0. Lad f + (t) = f (t)1( f (t) > 0) og f − (t) = − f (t)1( f (t) < 0), og definer
de to mål ν + og ν − på (R k , B(R k )) ved
dν +
dPξ0T (t) = f + (t) og dν−
(t) = f
dPξ0T − (t).
Disse to mål er endelige, idet f er P ξ-integrabel for alle ξ ∈ Λ0. Så viser (2.25), at
e (ξ−ξ0)·t
+
ν (dt) =
e (ξ−ξ0)·t ν − (dt) ∀ ξ ∈ Λ0.
Denne ligning siger, at Laplacetransformerne for de to mål ν + og ν − stemmer overens
på Λ0 − ξ0. Da int(Λ0 − ξ0) = ∅ følger det af JHJ, afsnit 4.19, at ν + = ν − . Dette giver
til gengæld, at
f + (t) = f − (t) n.s. − P ξ0T,
og dermed fra definitionen af f + og f − , at
Observationen 2.2 giver så, at
f (t) = 0 n.s. − P ξ0T.
f (t(x)) = 0 n.s. − P ξ for alle ξ ∈ Λ0.
Eksempel 2.33.
Lad X være binomialfordelt med antalsparameter n og sandsynlighedsparameter θ. Så
siger sætningen ovenfor, at hvis
E θ f (X) = 0 ∀ 0 < θ < 1,